یک مسئله از هندسه

gh2000 · 1393/5/30

سلااااااام خوبین؟؟
در یک مثلث متساوی الساقین abc به راس a طول نیمساز داخلی زاویه ی b دوبرابر نیمساز زاویه ی داخلی a است. اندازه ی a را پیدا کنید.(به نظر من مسئله ی جالبیه.).

mpsniper · 1393/5/30

پاسخ : یک مسئله از هندسه

ممنون از سازنده تاپیک !
لطفا تاپیک به اینجا انتقال داده بشه !

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

فکر کنم اگه طول نیمساز راس A رو x فرض کنیم جواب مسئله 4x خواهد بود !

AHZolfaghari · 1393/5/30

پاسخ : یک مسئله از هندسه

طول نیمساز راس A در یک مثلث از رابطه زیر محاسبه میشه :

$d_{a}=\frac{b+c}{2bc}cos\frac{\hat{A}}{2}$

فرض مسئله رو بکار ببرید و برید جلو به امید خدا حل میشه

Dadgarnia · 1393/5/30

پاسخ : یک مسئله از هندسه

در هر مثلث رابطه ي زير برقرار است:

$d_a^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}$

پس با توجه به فروض سوال داريم:

$d_b^2=4d_a^2\Leftrightarrow ab-\frac{ab^3}{(a+b)^2}=4b^2-a^2\Leftrightarrow \frac{a^2b}{(a+b)^2}(a+2b)=(a+2b)(2b-a)\Leftrightarrow a^2b=(a+b)^2(2b-a)=2b^3-a^3+3ab^2$

از طرف ديگر مي دانيم:

$a=2b\sin \frac{1}{2}\measuredangle A$

پس با توجه به رابطه ي بالا داريم:

$4b^3\sin^2 \frac{1}{2}\measuredangle A=6b^3\sin \frac{1}{2}\measuredangle A+2b^3-8b^3\sin^3 \frac{1}{2}\measuredangle A\Leftrightarrow 4\sin^3 \frac{1}{2}\measuredangle A+2\sin^2 \frac{1}{2}\measuredangle A-3\sin \frac{1}{2}\measuredangle A-1=4(\sin \frac{1}{2}\measuredangle A+1)(\sin \frac{1}{2}\measuredangle A-\frac{1-\sqrt{5}}{4})(\sin \frac{1}{2}\measuredangle A-\frac{1+\sqrt{5}}{4})=0$

پس

$\sin \frac{1}{2}\measuredangle A=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

ميدانيم كه

$\sin \frac{3\pi}{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

پس

$\measuredangle A=\frac{3\pi}{5}$

mpsniper · 1393/5/30

پاسخ : یک مسئله از هندسه

Dadgarnia گفت

ایشون در انتهای سوال اندازه‌ی a رو خواستن که فکر کنم منظور طول ضلع باشه چون در غیر اینصورت باید مینوشت اندازه‌ی زاویه‌ی a !!!
زننده‌ی تاپیک راهنمایی لطفا !!!

gh2000 · 1393/5/31

پاسخ : یک مسئله از هندسه

mpsniper گفت

عذر می خوام دوستان عجله داشتم یادم رفت بنویسم
اندازه ی زاویه ی a را بیابید
با عذر فراوان..:179:

darya.f · 1393/5/31

پاسخ : یک مسئله از هندسه

AHZolfaghari گفت

قسمت اول رو برعکس گفتىن

AHZolfaghari · 1393/5/31

پاسخ : یک مسئله از هندسه

darya.f گفت

درسته حق با شماست
درستش اینه :

$d_{a}=\frac{2bc}{b+c}cos\frac{\hat{A}}{2}$

MohsenMehrani · 1393/6/31

پاسخ : یک مسئله از هندسه

سلام من یه راه حل به ذهنم رسید که نیاز به فرمول نداره:
وسط نیمساز زاویه b رو مشخص کنید(mبنامید) به وسط ضلع bcمتصل کنید (mبنامید)و محل برخورد نیمساز زاویه bبا ضلع ac را nبنامید
اگه خوب دقت کنید متوجه می شوید amhn ذوزنقه متساوی الساقین است
زاویه hac=90-cبا زاویه bna=b/2+c برابره که با این معادله تساوی خیلی راحت a=3b=3cمی شه و رتته!!!

اینا رو من گفتم؟ واقعا من .... بابا ایول مقسی خدا:208:

یک مسئله از هندسه

gh2000

New Member

mpsniper

Well-Known Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member

mpsniper

Well-Known Member

gh2000

New Member

darya.f

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

MohsenMehrani

New Member