شورت ليست المپياد هندسه

TheOverlord · 1394/4/16

گويا المپياد هندسه هم مثل المپياد جهاني سوالات پيشنهادي و شورت ليست داشته. سوالات شورت ليست پارسال رو تو اين پست ميخوام بذارم.
سوال ١)

$I$

مركز دايره محاطي مثلث

$\Delta ABC$

است و

$CI$

و

$AB$

در

$D$

متقاطعند. وسط كمان

$BC$

از دايره محيطي كه شامل

$A$

هست را

$T$

ميناميم. فرض كنيد محل برخورد

$BI$

و دايره محيطي

$M$

باشد. ثابت كنيد اگر محل برخورد

$MD$

و

$AT$

برابر

$N$

باشد آنگاه

$BM$

و

$CN$

موازيند. (طرح علي ذوعلم)
سوال ٢) اگر

$ABCD$

و

$A'B'C'D'$

دو متوازي الاضلاع باشند به طوري كه

$AB||A'B'$

و

$BC||B'C'$

و

$P$

محل برخورد

$BB'$

و

$DD'$

باشد، آنگاه همخطي

$P,A,C'$

با همخطي

$P,C,A'$

معادل است. (طرح علي ذوعلم)
٣) فرض كنيد

$ABCD$

يك چهارضلعي محاطي باشد كه در آن

$M$

وسط كمان

$AB$

و

$P$

محل برخورد قطرهاي چهارضلعي است. ثابت كنيد اگر

$MP$

بر

$CD$

عمود باشد و

$\widehat{DAC}=\widehat{ADC}+\widehat{DCB}$

آنگاه چهارضلعي ما يك ذوزنقه است. (طرح مرتضي ثقفيان)
٤)فرض كنيد

$ABCP$

يك چهاروجهي باشد و

$\omega$

كره اي باشد كه دواير محاطي مثلثهاي

$\Delta ABP$

و

$\Delta APC$

و

$\Delta PBC$

روي آن قرار دارند. ثابت كنيد دايره محاطي مثلث

$\Delta ABC$

نيز روي كره

$\omega$

قرار دارد. (طرح مرتضي ثقفيان)
٥) در مثلث

$S$

،

$\Delta ABC$

محل برخورد

$BC$

و مماس مرسوم از

$A$

بر دايره محيطي است. فرض كنيد

$K,L$

نقاطي روي

$OS$

باشند به طوري كه

$\widehat{LAC}=\widehat{KAB}=90$

.
ثابت كنيد

$OL=OK$

. (طرح علي زماني)
باقيش جا نميشه تو پست بعد ميذارم. لطفا يكي اين وسط پست بذاره تا باقيش رو بذارم.

حمید آنالیز · 1394/4/16

پاسخ : شورت ليست المپياد هندسه

ممنون آقای پویا عجب چیز جالبیه ادامه بدین!

Sharifi_M · 1394/4/16

پاسخ : شورت ليست المپياد هندسه

٦)فرض كنيد

$BE$

و

$CD$

ارتفاع هاي مثلث

$\Delta ABC$

باشند كه در

$H$

متقاطعند. قرينه

$B$

و

$C$

نسبت به

$E$

و

$D$

به ترتيب

$B'$

و

$C'$

هستند. فرض كنيد مركز دايره محيطي

$\Delta HB'C'$

برابر

$O'$

باشد. همچنين وسط

$AH$

را

$K$

در نظر بگيريد.

$T$

محل برخورد

$O'K$

و

$BC$

است. ثابت كنيد

$\widehat{OTC}=\widehat{O'TB}$

كه در آن

$O$

مركز دايره محيطي مثلث است. (علی زمانی)

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

این دوتام مال آقای داوود وکیلی:
٧) در مثلث حاده الزاويه

$\Delta ABC$

،محل برخورد ارتفاعها

$H$

است و

$X$

و

$Y$

روي

$AB$

و

$AC$

قرار دارند بطوري كه

$AX=2XB,AY=2YC$

.
ثابت كنيد اگر

$3a^2=b^2+c^2$

آنگاه دواير محيطي دو مثلث

$\Delta AXY$

و

$\Delta HBC$

مماسند .
٨) فرض كنيد در مثلث

$\Delta ABC$

، نيمساز

$AD$

را رسم كرده ايم و وسط آن يعني

$D'$

را مشخص كرده ايم. خطي كه از

$A$

ميگذرد و با

$BC$

موازي است دايره محيطي مثلث را در

$A_1$

قطع ميكند. فرض كنيد

$T$

وسط كمان كوچكتر

$AA_1$

است.

$TD'$

دايره محيطي را در

$A_2$

قطع كند. بطور مشابه

$B_1,B_2,C_1,C_2$

را نيز تعريف ميكنيم. ثابت كنيد سه خط

$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$

همرسند.

حمید آنالیز · 1394/4/16

پاسخ : شورت ليست المپياد هندسه

Moshk گفت

٦)فرض كنيد

$BE$

و

$CD$

ارتفاع هاي مثلث

$\Delta ABC$

باشند كه در

$H$

متقاطعند. قرينه

$B$

و

$C$

نسبت به

$E$

و

$D$

به ترتيب

$B'$

و

$C'$

هستند. فرض كنيد مركز دايره محيطي

$\Delta HB'C'$

برابر

$O'$

باشد. همچنين وسط

$AH$

را

$K$

در نظر بگيريد.

$T$

محل برخورد

$O'K$

و

$BC$

است. ثابت كنيد

$\widehat{OTC}=\widehat{O'TB}$

كه در آن

$O$

مركز دايره محيطي مثلث است. (علی زمانی)

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

این دوتام مال آقای داوود وکیلی:
٧) در مثلث حاده الزاويه

$\Delta ABC$

،محل برخورد ارتفاعها

$H$

است و

$X$

و

$Y$

روي

$AB$

و

$AC$

قرار دارند بطوري كه

$AX=2XB,AY=2YC$

.
ثابت كنيد اگر

$3a^2=b^2+c^2$

آنگاه دواير محيطي دو مثلث

$\Delta AXY$

و

$\Delta HBC$

مماسند .
٨) فرض كنيد در مثلث

$\Delta ABC$

، نيمساز

$AD$

را رسم كرده ايم و وسط آن يعني

$D'$

را مشخص كرده ايم. خطي كه از

$A$

ميگذرد و با

$BC$

موازي است دايره محيطي مثلث را در

$A_1$

قطع ميكند. فرض كنيد

$T$

وسط كمان كوچكتر

$AA_1$

است.

$TD'$

دايره محيطي را در

$A_2$

قطع كند. بطور مشابه

$B_1,B_2,C_1,C_2$

را نيز تعريف ميكنيم. ثابت كنيد سه خط

$A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$

همرسند.

ببخشین از مث لینک بدست اوردین اینا رو؟

Sharifi_M · 1394/4/16

پاسخ : شورت ليست المپياد هندسه

حمید آنالیز گفت

نه از یکی از دوستان گرفتم.

حمید آنالیز · 1394/4/16

پاسخ : شورت ليست المپياد هندسه

Moshk گفت

اون دوستتون از کجا گیر اورده لطفا منبع بگین اخه ازکجا شورت لیست؟!مگه داریم مگه میشه؟!

Dadgarnia · 1394/6/7

پاسخ : شورت ليست المپياد هندسه

من این سوال اولو از یه راه قشنگ حل کردم گفتم دم المپیاد هندسه اینجا بذارمش بد نیست. اگه کسی برای سوال های دیگه هم راه حل قشنگی به ذهنش رسید لطفا بذاره.

$MD$

رو ادامه میدیم تا دایره محیطی رو توی

$P$

قطع کنه. محل تقاطع دایره محیطی مثلث

$ANB$

با

$MD$

رو هم

$Q$

می نامیم. چون

$D$

روی محور اصلی این دو دایره است حکم معادل با توازی دو خط

$QI,CP$

هست. داریم:

$\angle NQB=\angle NAB=90+\frac{1}{2}\angle A=180-\angle DIB$

پس

$DQBI$

محاطیه که نتیجه میده

$\angle DQI=\frac{1}{2}\angle B=\angle DPC$

پس حکم ثابت شد.

شورت ليست المپياد هندسه

TheOverlord

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Sharifi_M

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Sharifi_M

New Member

حمید آنالیز

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member