لیگ سؤالات هندسه پیشرفته

[IRYSC-team]

سلام به همه‌ی علاقه‌مندان المپیاد ریاضی
این تاپیک ویژه‌ی سؤالات هندسه پیشرفته است و با قوانین ویژه‌ی لیگ پیش می‌رود.

قانون‌ها:

1. شماره سؤال یا پاسخ را بزرگ در ابتدای هر ارسال بنویسید.
2. تا وقتی سؤالی پاسخ داده نشده، سراغ سؤال بعدی نروید.
3. هر کس می‌تواند در اینجا سؤال یا پاسخ بگذارد.
4. برای نوشتن معادلات، حتماً از فرمول‌نویس تالار استفاده کنید.
5. راه حل خودتان را بنویسید و به جایی لینک ندهید.

موفق باشید

 

[Rayan_sayyah]

سوال ۱

لیگ هندسه پیشرفته!

در مثلث حاده الزاویه ABC میدانیم: O ,AB>AC مرکز دایره محیطی این مثلث و D نقطه وسط پاره خط BC میباشد. دایره به قطر AD اضلاع AB و AC را به ترتیب در E و F قطع میکند. اگر خط گذرا از D و موازی AO با EF در M برخورد داشته باشد، نشان دهید EM=MF.

 

[r_f]

سوال ۱

لیگ هندسه پیشرفته!

در مثلث حاده الزاویه ABC میدانیم: O ,AB>AC مرکز دایره محیطی این مثلث و D نقطه وسط پاره خط BC میباشد. دایره به قطر AD اضلاع AB و AC را به ترتیب در E و F قطع میکند. اگر خط گذرا از D و موازی AO با EF در M برخورد داشته باشد، نشان دهید EM=MF.

می دانیم AFD=AED=90. همچنین چون MO موازی AOاست و همچنین CAO=90-B,BAO=90-C پس داریم: MDE=C,MDF=B
اکنون برای اینکه ثابت کنیم EM=MF باید ثابت کنیم DM میانه مثلث DEF است. پس طبق لم سینوس ها کافی است ثابت کنیم:
ED/DF= Sin MDF/Sin MDE
همچنین با توجه به قضیه سینوس ها داریم:
Sin MDF/Sin MDE = Sin B/Sin C= AC/AB
و نیز میدانیم AD میانه ABC است پس:
AC/AB = Sin BAD/Sin CAD
در نتیجه برای اثبات حکم کافی است ثابت کنیم:
ED/DF=Sin BAD/Sin CAD
که باتوجه به قضیه سینوس ها در دو مثلث ADF و ADE و محاطی بودن AEDF داریم:
ED/Sin BAD=DF/Sin CAD=2R
و اثبات حکم به پایان میرسد.

 

[r_f]

سوال ۱

لیگ هندسه پیشرفته!

در مثلث حاده الزاویه ABC میدانیم: O ,AB>AC مرکز دایره محیطی این مثلث و D نقطه وسط پاره خط BC میباشد. دایره به قطر AD اضلاع AB و AC را به ترتیب در E و F قطع میکند. اگر خط گذرا از D و موازی AO با EF در M برخورد داشته باشد، نشان دهید EM=MF.

روش دوم

می دانیم AFD=AED=90. همچنین چون MO موازی AOاست و همچنین
CAO=90-B,BAO=90-C پس داریم: MDE=C,MDF=B
قرینه E نسبت به D را X می نامیم. در نتیجه ECXB یک متوازی الاضلاع می باشد و داریم:
CXD=DEB=90 , DCX=EDX=B
و چون DFC=90 پس چهار ضلعی DFCX محاطی است و CFX=90-B پس AO موازی FX و در نتیجه FX موازی DM است و چون D وسط FX است قضیه طبق تالس داریم: EM=MF و اثبات حکم به پایان میرسد.

 

[Rayan_sayyah]

روش دوم

می دانیم AFD=AED=90. همچنین چون MO موازی AOاست و همچنین
CAO=90-B,BAO=90-C پس داریم: MDE=C,MDF=B
قرینه E نسبت به D را X می نامیم. در نتیجه ECXB یک متوازی الاضلاع می باشد و داریم:
CXD=DEB=90 , DCX=EDX=B
و چون DFC=90 پس چهار ضلعی DFCX محاطی است و CFX=90-B پس AO موازی FX و در نتیجه FX موازی DM است و چون D وسط FX است قضیه طبق تالس داریم: EM=MF و اثبات حکم به پایان میرسد.

یکم اشکال تایپی داره ولی منظور کلیتو گرفتم، درسته راه حلت. احسنت!