نامساوی اوکراین +...

MBGO · 1391/1/15

1.ثابت کنید اگر

$a,b,c$

سه عدد مثبت و

$abc \geq 1$

آنگاه :

$\frac{a+1}{a^{2}+a+1} + \frac{b+1}{b^{2}+b+1} +\frac{c+1}{c^{2}+c+1} \leq 2$

$(B. Pavlyk, D. Mitin, Kyiv)$

Aref · 1391/1/15

پاسخ : نامساوی اوکراین +...

نامساوی معادل است با:

$\sum \frac{a^2}{a^2+a+1}\ge 1$

می توانیم فرض کنیم:

$a=k\frac{x}{y},b=k\frac{y}{z},c=k\frac{z}{x}$

که در آن

$k$

عددی حقیقی و بزرگتر یا مساوی

$1$

است.
داریم:

$\sum \frac{a^2}{a^2+a+1}=\sum \frac{x^2}{x^2+\frac{xy}{k}+\frac{y^2}{k^2}}\ge\sum \frac{x^2}{x^2+xy+y^2}$

پس کافیست ثابت کنیم:

$\sum \frac{x^2}{x^2+xy+y^2}\ge 1$

با استفاده از نامساوی کوشی داریم:

$(\sum_{cyc} \frac{x^2}{x^2+xy+y^2})(\sum_{cyc} x^4z^2+x^3z^2y+x^2y^2z^2)\ge (\sum_{cyc} x^2z)^2$

کافیست ثابت شود که:

$(\sum_{cyc} x^2z)^2\ge \sum_{cyc} x^4z^2+x^3z^2y+x^2y^2z^2$

که با استفاده از نامساوی حسابی هندسی درست می باشد.

alich100 · 1391/1/15

پاسخ : نامساوی اوکراین +...

چرا معادل اونه؟

Aref · 1391/1/15

پاسخ : نامساوی اوکراین +...

دو طرف رو در منفی یک ضرب کن، جهتش عوض میشه. حالا دوطرف رو با 3 جمع کن، 3رو توی سمت چپ به سه تا یک بشکون و هرکدوم از یک هارو با یکی از کسر ها جمع کن.

alich100 · 1391/1/15

پاسخ : نامساوی اوکراین +...

ایده خوبی بود

MBGO · 1391/1/16

پاسخ : نامساوی اوکراین +...

Aref گفت

باسلام

میشه در مورد این فرض توضیح بدید؟

باتشکر.

threehandsnal · 1391/1/16

پاسخ : نامساوی اوکراین +...

MahanBabol گفت

عارف آن نیست من به نمایندگی از اون توضیح میدم. :4:
ببین ما میدونیم که

$abc \geq 1$

.
برای حالتی که

$abc=1$

خیلی راحت میتونیم بنویسیم

$a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

. ولی اینجا مشکلمون اینه که

$abc \geq 1$

هست!
من خودم اینکارو کردم واسه این سوال که اومدم اول ثابت کردم واسه

$abc=1$

نامساوی جواب میده!‌ پس به این نتیجه رسیدم که فرض

$abc \geq 1$

بیخوده و فرض

$abc=1$

کافیه! و بعدش

$abc \geq 1$

رو به

$abc=1$

تبدیل کردم.اونم همینجوری که عارف کرد.

$\exists k\in [1,+\infty ):abc=k^3$

.
پس میشه گفت

$a=k\frac{x}{y},b=k\frac{y}{z},c=k\frac{z}{x}$

.

نامساوی اوکراین +...

MBGO

New Member

Aref

New Member

alich100

New Member

Aref

New Member

alich100

New Member

MBGO

New Member

threehandsnal

New Member