پاسخ : سهمی رسانا
خب راهنمایی(راهنمایی که نه عملن کلشو توضیح دادم فقط باید بنویسیدش):سهمی هایی را در نظر بگیرید که کانونشان در مبدا است و از بالای محور x به سمت پایین و از پایین x به سمت بالا باز میشوند.فاصله کانونی آنهایی که از بالا بسمت پایین باز میشوند u^2/2 و پایینی هارا V^2/2 بگیرید.
به ازای هر u و v دو نقطه هست که این سهمی ها همدیگر را قطع میکنند.پس به ازای هر x ,y یک u,v داریم.
این یک دستگاه مختصاته.یعنی در دکارتی شما x , y میدی یک نقطه میگیری.اینجا u ,v میدی.بحث روی دو نقطه گرفتن مهم نیست.
در دکارتی x=Const یک خط موازی محور y میشد و y=const یک خط موازی x میشد.اینجا u=Const یک سهمی است که از بالا رو به پایین باز میشود.
خب حالا با توجه به رابطه طول خم یعنی dx^2+dy^2=ds^2 میایم به این نتیجه میرسیم که ds^2=(H)(du^2+dv^2) که H میشود یک بر روی u^2+v^2 (اگه غلطه بگین من چشمی حساب کردم) و خلاصه
dr=Hdu U +Hdv V گه حروف بزرگ منظورم u هت و v هت هست.
حالا در لاپلاسی در این دستگاه باز هم میتوان H را فاکتور گرفت و چون در مساله ما (مورد ب) سطح همپتانسیل ما یک سطح u ثابت است و اگر z هم بنویسیم z هم ثابته یعنی در واقع پتانسیل فقط تابع u است و در نتیجه مشتق دومش هم صفر است و پتانسیل در فضا میشود V=V0+au که میتوان این رو به x, y هم تبدیل کرد و دو ثابتمان از شرایط مرزی بدست میایند.برای الف هم دستگاه مشابهی از دوران این سهمی ها تعریف میکنیم که میشه u,v,theta .اگر شد شکلشم میکشم میزارم و مینویسم کاملشو.
برای بیضیگون مرحله 3 هم از دستگاه بیضوی استفاده میکنیم که بسادگی بدست میاد.ببینید معادله بیضی x^2/a^2+y^2/b^2=1 هست و معادله سطوح عمود بعبارتی بیضوی یک سری بیضی و هذلولیند یعنی اگر u v باشه دستگاه سطوح u ثابت بیضی و v ثابت هذلولیه مثلن.و معادله هذلولی هم هست x^2/a^2-y^2/b^2=1
خب حالا ما میخواستیم چنین دستکاهی تعریف کنیم.میبینیم معادلات بیضی و هذلولی مارو یاد اتحاد های sin و sinh میندازه.خب بسادگی تابلو میشه که اگر
x=acosh(u)cos(v) 1
y=asinh(u)sin(v) 2
جواب میدهد و این میشه دستگاه ما برای بررسی مساله که باز چون در اون سوال بیضیگونه یک سطح هم پتانسیله پتانسیل فقط تابع v میشود و خطی میشه.البته اینجا فقط در صفحه بررسی کردیم که میشه اگر لازم بود یک z عمود بدیم یا همین هارو دروان بدیم و یک theta اضافه کنیم.
یک دستگاه خیلی خیلی جالب دیگه هم که میشه تعریف کرد....بزودی میگم!
