تانژانت

BiotechMania · 1391/2/28

حاصل عبارت را بیابید:
tan130tan131tan132...tan139tan140

ali_irysc · 1391/2/28

پاسخ : تانژانت

$\coprod_{i=40}^{45}(\left ( \tan i \right )\left ( \tan 90-i \right ))=1$

BiotechMania · 1391/2/28

پاسخ : تانژانت

ali_irysc گفت

؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟!!!!!!!!!!!!!!!!:39::39::39:

ali_irysc · 1391/2/28

پاسخ : تانژانت

$\prod_{i=40}^{45}(\left ( \tan i \right )\left ( \tan 90-i \right ))=1$

علامت حاصل ضرب رو اشتباه نوشته بودم

کسی میدونه علامت

$\coprod_{}^{}$

یعنی چی؟

threehandsnal · 1391/2/28

پاسخ : تانژانت

ali_irysc گفت

http://en.wikipedia.org/wiki/Coproduct
http://mathworld.wolfram.com/Coproduct.html

threehandsnal · 1391/2/28

پاسخ : تانژانت

samaneh75 گفت

$\tan (\theta)=-\tan (180^{\circ}-\theta) \text{ , } \cos(\theta)=\sin(90^{\circ}-\theta)\implies \tan(130).\tan(131)...\tan(140)=(-1)^{11}\tan (50).\tan(49)...\tan(40)=-\frac{\sin(40).\sin(41)...\sin(50)}{\cos(40).\cos(41)...\cos(50)}=-\frac{\sin(40).\sin(41)...\sin(50)}{\sin(50).\sin(49)...\sin(40)}=-1$

BiotechMania · 1391/2/29

پاسخ : تانژانت

threehandsnal گفت

ببخشید میشه یه بار هم بگین؟
مرسی

threehandsnal · 1391/2/29

پاسخ : تانژانت

samaneh75 گفت

چرا نشه؟ :3:

اول از همه برای کوتاه کردن نوشتار و قابل درک کردنش نماد زیر رو تعریف می کنیم:

$k<l\:,\:k,l\in \mathbb{N}:\prod_{i=k}^{l}a_i:=a_k.a_{k+1}...a_{l-1}.a_l$

مثلا

$\prod_{i=1}^{n}i=1\times 2\times...\times n=n!$

حال به اثبات مساله میپردازیم :4: :

$\tan(180^{\circ}-\theta )=\frac{\sin (180^{\circ}-\theta )}{\cos(180^{\circ}-\theta)}=\frac{\sin(\theta)}{-\cos(\theta)}=-\tan(\theta)$

$\tan(180^{\circ}-i)=-\tan(i)\implies \prod_{i=130}^{140}\tan(i)=\prod_{i=40}^{50}\tan(180^{\circ}-i)=\prod_{i=40}^{50}(-1)\tan(i)=(-1)^{11}\prod_{i=40}^{50}\tan(i)=-\prod_{i=40}^{50}\frac{\sin(i)}{\cos(i)}=-\prod_{i=40}^{50}\frac{\sin(i)}{\sin(90^{\circ}-i)}=-\frac{\prod_{i=40}^{50}\sin(i)}{\prod_{i=40}^{50}\sin(90^{\circ}-i)}=-\frac{\prod_{i=40}^{50}\sin(i)}{\prod_{i=40}^{50}\sin(i)}=-1$

اگه جایی نامفهوم بود بگید توضیح بدم (ولی بگید دقیقا کجاش نامفهوم بود!‌)
اینجا فقط از دو تا چیز استفاده شد:

$\tan(180^{\circ}-\theta )=-\tan(\theta)$

و اینکه

$\cos(\theta)=\sin(90^{\circ}-\theta)$

$\square$

تانژانت

BiotechMania

New Member

ali_irysc

New Member

BiotechMania

New Member

ali_irysc

New Member

threehandsnal

New Member

threehandsnal

New Member

BiotechMania

New Member

threehandsnal

New Member