حالت خاص تعمیم بطلمیوس

ash1374 · 1391/2/31

سلام دوستان.یه سوال داشتم در باره ی حالت های خاص قضیه ی تعمیم بطلمیوس. منظورم از حالت های خاص اینکه چند تا از دایره هامون به نقطه یا خط تبدیل بشن. البته در مورد نقطه که مشکلی وجود نداره ولی اگه خط بشن شرایطش پیچیده میشه:2:.مثلا برای حالتی که سه تا نقطه و یه خط داشته باشیم میشه یه حکم خوب بدست آورد. ولی اگه خط و دایره داشته باشیم یا خط هامون بیش از یکی باشه چی؟ مثلا اگه بشه یه حکم خوب بدست آورد احتمالا سوال 3 آزمون دوم انتخاب تیم رو میشه به خوبی حل کرد.
تو یه کلام مثلا درباره ی این مسئله ی خاص ، سوالم اینه که آیا شرط لازم و کافی مفیدی وجود دارد برای این که دایره ای وجود داشته باشد که بر دو دایره و دو خط مشخص مماس باشد.

غذر می خوام طولانی شد.

Aref · 1391/2/31

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

ash1374 گفت

برای سه دایره و یک خط:
این چیزی که به دست آوردم احتمالا چیز خیلی خوبیه. نمی دونم کافی هست یا نه، ولی به احتمال خیلی زیاد باشه. فکر نکنم اثبات کافی بودنش خیلی دور از ذهن باشه.
اول باید فاصله ی دایره از خط رو تعریف کنیم:
Definition:
فاصله دایره از خط را برابر

$\max \{d(A,l)|A\in C\}\or \min \{d(A,l)|A\in C\}$

در نظر می گیریم.:4:

خط را

$l$

بنامید و سه دایره را

$C_A,C_B,C_C$

نامگذاری کنید. اکنن اگر دایره ی مماس بر

$C_A,C_B,C_C$

و

$l$

وجود داشته باشد آنگاه باید داشته باشیم:

$\pm BC\sqrt{d(C_A,l)}\pm CA\sqrt{d(C_B,l)}\pm AB\sqrt{d(C_C,l)}=0$

Aref · 1391/2/31

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

اوه. مثل این که من یه سوتی دادم. باید طول ab و اینا رو به دست بیاریم، که این هم مستقل از شعاع دایره ی بزرگ نیست.

Aref · 1391/3/1

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

خب تا حالا یه معادله به دست آوردیم که شعاع دایره ی بزرگ به دست میاد ازش. برای حالتی که یه خط و دو نقطه و یه دایره هم داشته باشیم مساله حل شد.
برای دو خط به نظرم حالت کلی خیلی معنا پیدا نمی کنه.باید دایره ها و خط ها یه رابطه ای با هم داشته باشند.

ash1374 · 1391/3/1

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

Aref گفت

منظور از bc فاصله ی دو دایره است یا طول خط المرکزینشون? اگه فاصلشون باشه رابطه ای که بدست آوردین به نظرم رابطه ی خوبیه. اثبات لازم بودن و کافی بودنش هم به صورت حدی با میل دادن دایره به خط از روی قضیه ی اصلی بدست می آد.
منظورتون از اینکه "طول bc مستقل از شعاع دایره ی بزرگ نیست" چیه؟

Aref · 1391/3/1

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

ash1374 گفت

k=دایره ای که باید ببینیم وجود داره یا نه.
نه باو... گفتم که سوتی دادم... bc رو از وصل کردن محل تماس دو دایره به دست آوردم. که این هم مستقل از شعاع دایره ی k نیست. ولی خب خوبیش اینه که شعاع دایره k در صورت وجود به دست میاد. یعنی در واقع گند زدم برای حالت کلی! فقط شعاع k به دست میاد در صورت وجود(برای حالت سه دایره و یک خط)

ash1374 · 1391/3/1

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

برای حالت سه دایره و یک خط فکر کنم این رابطه شرط لازم و کافی باشه:c1وc2وc3 دوایر و l خط است. همون تعریف عارف از فاصله ی خط و دایره تعریف خوبیه و همون رو ملاک قرار میدیم. فاصله ی دو دایره رو هم طول مماس مشترکشون میگیریم و با

$\delta$

نشون میدیم.

$\pm \delta (C_{1},C_{2})\sqrt{d (C_{3},l)}\pm \delta (C_{2},C_{3})\sqrt{d (C_{1},l)}\pm \delta (C_{3},C_{1})\sqrt{d (C_{2},l)}=0$

ash1374 · 1391/3/2

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

من اثباتی رو که برای ادعای بالا دارم رو می نویسم. ولی چون حد رو خوب بلد نیستم ممکنه تو ساده کردن جوب زده باشم.:4:مسئله رو تو این حالت حل میکنیم که فرض می کنیم یه دایره وجود داره، رابطه رو ثابت می کنیم. اثبات طرف دیگه به طور مشابه انجام میشه.فرض کنیم دوایر c1,c2,c3 و خط l را داریم. دایره ی c4 بر اون ها مماسه. فرض کنید بر خط L تو نقطه ی T مماس باشه. پس دایره ی c4بر هر دایره ای که در T بر خط L مماس باشه هم مماسه. حالا یه دایره ی دلخواه C میگیریم که تو T بر L مماسه.با بزرگ کردن شعاع C اون رو به سمت L میل میدیم. رابطه ی بطلمیوس رو برای C ,c1,c2,c3و می نویسیم. اگه دایره ساعتگرد بر c1,c2,c3,cمماس باشه اونوقت برای هر C:

$\delta (C_{1},C_{2}). \delta (C_{3},C)+\delta (C_{2},C_{3}).\delta (C_{1},C)-\delta (C_{1},C_{3}).\delta (C_{2},C) =0$

حالا از اونجایی که همه ی تبدیل ها پیوسته هستند:

$\lim_{C \to l }\delta (C_{1},C_{2}). \delta (C_{3},C)+\delta (C_{2},C_{3}).\delta (C_{1},C)-\delta (C_{1},C_{3}).\delta (C_{2},C) =0$

بنابراین

$\delta (C_{1},C_{2}).\lim_{C \to l } \delta (C_{3},C)+\delta (C_{2},C_{3}).\lim_{C \to l }\delta (C_{1},C)-\delta (C_{1},C_{3}).\lim_{C \to l }\delta (C_{2},C) =0$

فرض کنید X1 نزدیک ترین یا دورترین نقطه ی C1 از Lباشه.و همینطور X2 و X3 . فاصله ی C1 از C همون مماس مشترک اون هاست که وقتی Cبه Lمیل میکنه این مماس مشترک به مماس وارد از X1 به C میل میکنه. یعنی همون جذر قوت X1فرض کنید عمود وارد از X1 بر L خط L را در P1 و Cرا در A1 در نزدیک وb1 در دور قطع کند. لذا قوت X1 برابر

$X_{1}A_{1}.X_{1}B_{1}$

است لذا با جاگذاری این روابط در رابطه ی حدی بالا داریم:

$\delta (C_{1},C_{2}).\lim_{C \to l } \sqrt{X_{3}A_{3}.X_{3}B_{3}} +\delta (C_{2},C_{3}).\lim_{C \to l } \sqrt{X_{1}A_{1}.X_{1}B_{1}}-\delta (C_{1},C_{3}).\lim_{C \to l } \sqrt{X_{2}A_{2}.X_{2}B_{2}} =0$

از طرفی

$X_{1}A_{1},X_{2}A_{2},X_{3}A_{3},$

به سمت

$X_{1}P_{1},X_{2}P_{2},X_{3}P_{3},$

میل می کنن. لذا داریم

$\delta (C_{1},C_{2}).\sqrt{X_{3}P_{3}}\lim_{C \to l } \sqrt{X_{3}B_{3}} +\delta (C_{2},C_{3}).\sqrt{X_{1}P_{1}}\lim_{C \to l } \sqrt{X_{1}B_{1}}-\delta (C_{1},C_{3}).\sqrt{X_{2}P_{2}}\lim_{C \to l } \sqrt{X_{2}B_{2}} =0$

از طرفی

$X_{1}B_{1},X_{2}B_{2},X_{3}B_{3},$

به سمت همدیگر میل می کنند. یعنی نسبت هر دو تا از آنها به یک میل می کند. لذا می توان آنها را خط زد. و اثبات تمام است.

Aref · 1391/3/2

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

ash1374 گفت

فاصله ی C1 از C همون مماس مشترک اون هاست که وقتی Cبه Lمیل میکنه این مماس مشترک به مماس وارد از X1 به C میل میکنه. یعنی همون جذر قوت X1فرض کنید عمود وارد از X1 بر L خط L را در P1 و Cرا در A1 در نزدیک وb1 در دور قطع کند. لذا قوت X1 برابر

$X_{1}A_{1}.X_{1}B_{1}$

است لذا با جاگذاری این روابط در رابطه ی حدی بالا داریم:

$\delta (C_{1},C_{2}).\lim_{C \to l } \sqrt{X_{3}A_{3}.X_{3}B_{3}} +\delta (C_{2},C_{3}).\lim_{C \to l } \sqrt{X_{1}A_{1}.X_{1}B_{1}}-\delta (C_{1},C_{3}).\lim_{C \to l } \sqrt{X_{2}A_{2}.X_{2}B_{2}} =0$

از طرفی

$X_{1}A_{1},X_{2}A_{2},X_{3}A_{3},$

به سمت

$X_{1}P_{1},X_{2}P_{2},X_{3}P_{3},$

میل می کنن. لذا داریم

$\delta (C_{1},C_{2}).\sqrt{X_{3}P_{3}}\lim_{C \to l } \sqrt{X_{3}B_{3}} +\delta (C_{2},C_{3}).\sqrt{X_{1}P_{1}}\lim_{C \to l } \sqrt{X_{1}B_{1}}-\delta (C_{1},C_{3}).\sqrt{X_{2}P_{2}}\lim_{C \to l } \sqrt{X_{2}B_{2}} =0$

از طرفی

$X_{1}B_{1},X_{2}B_{2},X_{3}B_{3},$

به سمت همدیگر میل می کنند. یعنی نسبت هر دو تا از آنها به یک میل می کند. لذا می توان آنها را خط زد. و اثبات تمام است.

میتونی این چند خط رو دقیق ثابت کنی؟

ash1374 · 1391/3/4

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

سلام

دلیل اینکه مماس مشترک CوC1 به مماس وارد از X1 میل میکنه اینه که درواقع محل تماس این مماس با C1 داره به X1 میل می کنه.
اینکه X1A1,X2A2,X3A3 به X1P1,X2P2,X3P3 میل میکنن بدیهیه.
تنها قسمت نابدیهی که احتمالا منظور شماست اینه که چطور اون سه تا عبارت رو تو آخر راه حل خط زدم. اون سه تا دارن به همدیگه میل می کنن اما متاسفانه همه دارن به بی نهایت میل می کنن. من برای اثبات این اینجوری استدلال کردم.
مقادیر ثابت پشت حد ها رو a,b,c و متغیر ها روx,y,z بگیرید.داریم lim ax+by-cz =0 می خواهیم ثابت کنیم a+b-c=0

فرض کنید

$\frac{y}{x}=t_{1}$

و

$\frac{z}{x}=t_{2}$

. دقت کنید خود t1وt2 مقادیر ثابتی نیستن. اما دارن به یک میل می کنن.بنابراین:

$\lim_{c\to l}ax+bt_{1}x-ct_{2}x=0\Rightarrow \lim_{c\rightarrow l}x(a+t_{1}b-t_{2}c)=0$

پس اگه مقدار

$a+t_{1}b-t_{2}c$

در بی نهایت هر مقداری غیر 0 باشه مثلا k اون موقع kx وقتی x داره میره به سمت بی نهایت نمی تونه صفر باشه.
پس مقدار

$a+t_{1}b-t_{2}c$

در بی نهایت صفره. t1 و t2 هم که دارن به یک میل می کنن پس مقدار مورد نظر در بی نهایت همون a+b-c هست که صفر میشه.

Aref · 1391/3/4

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

این که اثبات نیست. شما در واقع دو بار حد گرفتی... من منظورم این بود که یه مختصاتی چیزی بنویسی که حکم رو دقیق ثابت کنی.

این چیزی که نوشتین به نظرم اصلا شبیه اثبات نیست!

ولی خب، اون چیزی که گفته بودم درست بود! (چرا یه دفعه فکر کردم اشتباهه؟)

خب، فرض کنید یه دایره وجود داشته باشه که به سه دایره ی مفروض و یک خط مفروض مماس بیرون باشه. عکس حکم و نیز این نکته که بعضی از دایره ها مماس بیرون باشند به عهده ی خواننده!

اثبات من بودن استفاده از حد و این جور چیزاست. برای اون مساله اصلی هم (دو خط و دو دایره) شرط های مساله ی tst لازمه. منتها الان چون ترافیک تموم شده نمیتونم زیاد توضیح بدم.

فقط به فراز هایی از اثبات بسنده میکنم :4:
اول فرض کنید اون دایره وجود داره، بعد روی نقاط تماس و دایره های مفروض تعمیم بطلمیوس بزنید، بعد از قضیه ی سینوس ها استفاده کنید و یه شرط خوبی به دست بیارید. بعد ثابت کنید عکس حکم رو، بعد برای اون دو تا خط دیگه ثابت کنید! و مساله رو نتیجه بگیرید.

ash1374 · 1391/3/5

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

آهااا... من فکر کردم منظورت اینه که اون حد ها رو دقیق تر ثابت کنم
من قبول دارم استفاده از حد تو این سوالا کار درستی نیست. ولی فکر نمی کنم اشتباه باشه.
رابطه ای که بدست آوردی نمی دونم درسته یا نه(به نظر میاد باشه)ولی تو حالتی که دایره ها و خط رو داریم و می خوایم ببینیم که میشه برشون یه دایره مماس کرد یا نه چطوری میشه ازش استفاده کرد؟
سعی کردم رابطمو هندسی ثابت کنم و خداروشکر ثابت شد. اثباتشو سعی می کنم کامل بنویسم:
یه لم معروف داریم که میگه اگه دایره ای به شعاع r بر دایره ای به شعاع های x,y مماس خارج باشه تو aوb اون موقع طول مماس مشترک xوy برابر

$\frac{a}{r}\sqrt{(r+x)(r+y)}$

خواهد شد که a=AB. حالا حساب کردم دیدم اگه یکی از این دایره ها خط بشه یعنی دایره ای به شعاع r بر دایره ای به شعاع xو خط l مماس خارج بشه تو AوB و AB=a اون وقت فاصله ی دایره ی x و خط l که قبلا تعریفش کردیم از این رابطه بدست می آد:

$\frac{a^{2}}{2r^{2}}\(r+x)$

. حالا میریم سراغ اثبات رابطه:
اول لازم بودن رو ثابت می کنیم. فرض کنید دایره ی R با شعاع r بر دایره های x,y,z با همین شعاع ها و خط l مماس خارج باشه.محل تماسش با x,y,z,l به ترتیب A,B,C,D بگیرید.AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f
می خواهیم ثابت کنیم :

$\delta (x,y)\sqrt{d(z,l)}+\delta (y,z)\sqrt{d(x,l)}=\delta (x,z)\sqrt{d(y,l)}$

از طرفی

$\delta (x,y)=\frac{a}{r}\sqrt{(r+x)(r+y)}$

و همچنین

$\sqrt{d(z,l)}=\frac{c}{\sqrt{2}r}\sqrt{r+z}$

با ساده کردن

$\sqrt{(r+x)(r+y)(r+z)}\times \frac{1}{\sqrt{2}r}$

از سه تا رابطه ، به خود قضیه ی بطلمیوس برای ABCD می رسیم و اثبات تمامه.
برای اثبات کافی بون با یه برهان خلف براحتی ثابت میشه.
برای دو تا خط من به چیز خوبی نرسیدم. میشه بیشتر توضیح بدی.

Aref · 1391/3/5

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

AoPS Forum - Tangent circles and parallelogram • Art of Problem Solving

ash1374 · 1391/3/27

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

سلام. با توجه به چیزایی که بدست آوردیم و اثبات آقا عارف برای مسئله ی tst قضیه ی تعمیم بطلمیوس رو میشه اینجوری جمع بندی کرد.
نتیجه گیری:
فرض کنید aوbوcوd اشیایی هستند که یا دایره اند یا خط اگر فاصله ی شی xو y رو با

$d(x,y)$

نشان دهیم در این صورت یک دایره و وجود دارد که بر a,b,c,d مماس است(در یک جهت مثلا ساعتگرد)

اگر و فقط اگر :

$d(a,b)d(c,d)+ d(a,d)d(b,c)= d(a,c)d(b,d)$

حال فقط کافیست

$d(x,y)$

را در حالت های مختلف تعریف کنیم:

الف)x,y هر دو دایره:

$d(x,y)$

طول مماس مشترک داخلی یا خارجی دو دایره تعریف می شود.

ب)x دایره و y خط: عمود وارد از مرکز x بر y دایره ی x را در AوB و خط y را در C قطع می کند.

$d(x,y)$

برابر

$\sqrt{AC}$

یا

$\sqrt{BC}$

تعریف می شود.

ج) xوy هر دو خط:

$d(x,y)$

برابر کسینوس نصف زاویه ی بین آن ها تعریف می شود.

ash1374 · 1392/6/14

پاسخ : حالت خاص تعمیم بطلمیوس

ash1374 گفت

سلام
فکر کنم اولین یا دومین باره می خوام پست خودم رو نقل قول کنم!

یکسال و خورده ای پیش سر این مسئله با عارف عزیز بحث کردیم و به نتایجی هم رسیدیم که این بالا نوشتم. چند وقت پیش به یکی از دوستام این ها رو گفتم و یک جوب واضح ازش گرفت. برای همین این اصلاحیه رو به پست بالا اضافه می کنم:

1. وقتی دایره ها تبدیل به نقطه بشن هیچ مشکلی وجود نداره.

2. وقتی یکی یا دو یا سه تا از دایره ها خط بشن هیچ مشکلی وجود نداره. خوش بختانه این سه حالت ثابت شد. (فاصله ی دو خط رو همونطور که گفته بودم برابر کسینوس نصف زاویه ی بینشون تعریف می کنیم.

3. اگر 4 تا خط داشته باشیم یک طرفه هستش. یعنی اگر دایره مماس باشه رابطه درسته، ولی اگر رابطه درست باشه لزوما دایره مماس نیست. جوبش هم واضحه کجاست. یعنی هم مثال نقضش واضحه( یکی از خط ها رو موازی خودش حرکت میدیم) و هم واضحه چرا مشابه قبلی ها نمیشه عمل کرد و اثبات مشابه جوب داره. ( در اثبات قبلی ها از این که هر چهار دایره همزمان خط نیستن استفاده میشه که من به این موضوع دقت نکرده بودم)

حالت خاص تعمیم بطلمیوس

ash1374

New Member

Aref

New Member

Aref

New Member

Aref

New Member

ash1374

New Member

Aref

New Member

ash1374

New Member

ash1374

New Member

Aref

New Member

ash1374

New Member

Aref

New Member

ash1374

New Member

Aref

New Member

ash1374

New Member

ash1374

New Member