همگرا یا واگرا؟!

mohammadi9 · 1391/3/11

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1^n\times n}{(n+1)(n+2)}$

seyed iman · 1391/3/11

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

واضحه که هم گرا نیست!!
تو بی نهایت نمیتونیم بگیم مثبته یا منفی!!یک در میون مثبت منفی میده.(تقریبن)

mehran88 · 1391/3/11

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

من به جاهای خوبی رسیدم.

کلی تونستم تجزیه ش کنم!

فردا میذارم راه حلم رو.

اگه اشتباه نکرده باشم جواب میشه

$1.5ln0.5$

Yousefi · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

kaleiodoscope گفت

چه ربطی داره ؟؟؟ اولا که جمع کردنه یکسری از اعداده که به ترتیب منفی و مثبت هستند و درنتیجه می تونه همگرا باشه ، توی بینهایت حتما منفیه چرا که مخرج بزرگتر از صورت هست و جمله اول منفی است.
مثلاً این :

$sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{(2n+1)}}{(2n+1)!}$

مگه همگرا نیست ؟؟؟ طبق تعریف شما نمیدونیم توی بینهایت منفیه یا مثبت !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
اونا دارن با هم جمع می شن، از شما که سالار این انجمنی بعیده.

و در ضمن این سری همگرا هست.

mehran88 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

Yousefi گفت

ببخشید مگه sinx همگراست!!!!؟؟؟؟

در بی نهایت مگه می دونیم به کدوم یک از اعداد -1 تا 1 همگراست؟؟؟؟

seyed iman · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

mehran88 گفت

همگرا معنی نمیده!!!باید بگید sin x در .... همگراست.
در صفر همگراست.ولی در بینهایت sinx همگرا نیست.نمیدونیم چنده.
این سری بالا هم همگرا بنظر نمیرسه:
زیگما تا100 امی مثبته تا 101 امی منفیه تا 102 امی مثبته تا 103 امی منفیه و...
من نگفتم چون جملاتمون یکی در میان مثبت منفی همگرا نیست!!!میگم بجای بینهایت زیگما تا 100 تا 101 تا 102 رو اگر حساب کنیم یکی در میان مثبت منفیه.و این نمیتونه همگرا باشه چون معلوم نیست بینهایت زوج یا فرده و یعنی معلوم نیست زیگما ی ما مثبته یا منفی!!

mehran88 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

kaleiodoscope گفت

منظورم توی بینهایت بود دیگه...!!

این سری همگراست و حدش رو من 1.5ln0.5 در آوردم ولی wolfarm یه چیز دیگه میگه!!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%91%28n%28-1%29^n%29%2F%28%28n%2B1%29%28n%2B2%29%29

اونم میگه همگراست ولی به 0.076 همگراست

seyed iman · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

mehran88 گفت

تو از صفرش زدی تو ولفرام.
از یکه.بعدش هم ولفرام چرا یک بخش i میده؟!

mehran88 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

kaleiodoscope گفت

اون روشی که wolfarm نوشته تقریبا به عقل هیچ بنی بشری نمیرسه(مگه بچه های طلایی ریاضی امسال که خدایی حقشونه 1 تا 5 حهان بشن!!!)

من بدست آوردم

$\frac{3}{2}ln0.5$

ولفارم درآورد

$3+2ln0.5$

من با تلسکوپی و به انتگرال که نمیدونم به جا بوده یا نه بدست آوردم!

seyed iman · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

mehran88 گفت

خب روش تو بنویس!!
البته من هنوز تو کف همگراییشم.

Yousefi · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

mehran88 گفت

تصحیح میکنم به 0.076- همگراست (منفی)
من هم از لحاظ جمع اونها گفتم که همگراست ، مشخصه که جمله ی z ام معلوم نیست مثبته یا منفی ولی ،

1- به توان 10000 ضربدر 10000 تقسیم بر (10000+1 ) ضربدر (10000+2) میشه : حدودا میشه 9.99 ضربدر 10 به توان 5-
1- به توان 10001 ضربدر 10001 تقسیم بر (10001+1 ) ضربدر (10001+2) میشه : حدودا میشه 9.99- ضربدر 10 به توان 5- !
خب از لحاظ فاصله با صفر تقریبا یک اندازه است.

Yousefi · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

آخرش نمیدونم چرا نگرفتید..... چرا هر چی توضیح میدم حرف خودتونو می زنید.
عزیزان ، درسته که جمله n ام معلوم نیست مثبته یا منفی ولی جمع تمام جملات همیشه منفیه به سمت یک عدد خاص میره منظورم از سینوس x هم این بود که اگه x رو یک عدد ثابت در نظر بگیریم اونوقت سینوس اون همیشه یک عدد ثابت میشه !!!!

mehran88 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

من با یه مقدار دستکاری به جواب آخر رسیدم.اما بعضی از جاهای حلم کمی با عقل خودم! جور در نمیاد.دوستانی که سوادشون بیشتره کمک کنند راه حل رو درست کنیم.

اول بیاییم

$\lim_{2n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^kk}{(k+1)(k+2)}$

رو حساب کنیم تا کارمون راحت تر باشه!

با یه تلسکوپ کاری و فاکتور گیری از عوامل مشترک مخرج هر کسر با کسر بعدی داریم:

$\lim_{2n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^kk}{(k+1)(k+2)}=\lim_{2n \to \infty }-\frac{2n}{2n+2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{4k-1}{2k+1}-\sum_{k=1}^{n}\frac{4k-3}{2k}$

بعد از کمی ساده سازی در عبارات زیگمایی یه انتگرال میگیرم!!(( اصلا این انتگرال گرفتن به نظر خودم من در آوردیه و مبنای علمی نداره!!!ولی جالبه در نهایت به جواب میرسه!! ))

$=\lim_{2n \to \infty }-1-3\left (\frac{1}{2}\int_{1}^{n}\frac{1}{k}dk -\int_{0}^{n}\frac{1}{2k+1}dk \right )=\lim_{2n \to \infty }-1+\frac{3}{2}ln\frac{2n+1}{n}=\frac{3}{2}ln2-1$

حالا چون اون اول تغییر متغیر

$n\mapsto 2n$

داده بودیم حالا باید جواب رو در 2 ضرب کنیم!!!

حالا جواب رودر -1 ضرب می کنیم!!!!! ((خدایی این آخرین مرحله دیگه خیلی با نمکه!!))

پس به جواب ولفارم رسیدیم!!!

$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^kk}{(k+1)(k+2)}=2-3ln2$

mehran88 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

Yousefi گفت

نه.ببینید آقای کالیدئوسکوپ دیشب خیلی سریع و بدون محاسبه فقط به خاطر دیدن مثبت و منفی ها گفتند واگراست .الان همه مون می دونیم که سری مورد نظر همگراست.این چیزی هم که الان نوشتید تعریف تابع هستش نه شرط همگرایی.

Yousefi · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

mehran88 گفت

سلام، :41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41::41:

خیلی جالبه ، دیده بودیم که از هوپیتال استفاده می کنن و از صورت و مخرج مشتق می گیرن ولی خداییش تا حالا ندیده بودم با انتگرال بشه همچین چیزیو حل کرد !!!

mehran88 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

Yousefi گفت

سلام.

از انتگرال برای تقریب سری های گسسته که تعداد جملاتشون به بی نهایت میل میکنه میشه استفاده کرد ولی من بار اولم بود استفاده می کردم و فکر کنم یه جاهایی از حلم غلطه.

mohammadi9 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

اقا -1 تو پرانتز نیست....

mehran88 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

mohammadi9 گفت

خب اگه نباشه اولا چکاریه اون رو گذاشتی:93::93:!!!

ثانیا خیلی راحت تر شد.واگراست به دو دلیل

1- ولفارم!!! http://www.wolframalpha.com/input/?i=∑(n)/((n+1)(n+2))

2-عملیات زیر(اگه جایی سوتی دادم بگید)

سوال اینه.

خب.اون جمله انگلیسی رو می خواهیم به ریاضی (و نه فارسی.باید زبان تون رو تقویت کنید) ترجمه کنیم:93::93:!!

داریم!

$\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+1)(k+2)}=\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{0.5((k+2)^2-(k+1)^2)-1.5}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{k+2}{k+1}-\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k+2}-\lim_{n \to \infty }\frac{1.5}{(k+1)(k+2)}$

با توجه به اینکه دومین لیمیت همگراست دیگه اون رو L میگیرم!

$=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty }\left (\int_{0}^{n}\frac{1}{k+1}dk+\int_{0}^{n}\frac{1}{k+2}dk \right )-L=$

$=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty }ln(n+1)(n+2)-L=\infty$

hkh74 · 1391/3/12

پاسخ : همگرا یا واگرا؟!

$\frac{(-1)^nn}{(n+1)(n+2)}=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}+\frac{2(-1)^{n+2}}{n+2} \\ \Rightarrow \sum_{n=1}^{k}\frac{(-1)^nn}{(n+1)(n+2)}=2-3\left (\sum_{n=1}^{k+1}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \right )+\frac{2(-1)^{n+2}}{n+2} \\ \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nn}{(n+1)(n+2)}=2-3\ln(2)+0$

همگرا یا واگرا؟!

mohammadi9

New Member

seyed iman

Well-Known Member

mehran88

New Member

Yousefi

Well-Known Member

mehran88

New Member

seyed iman

Well-Known Member

mehran88

New Member

seyed iman

Well-Known Member

mehran88

New Member

seyed iman

Well-Known Member

Yousefi

Well-Known Member

Yousefi

Well-Known Member

mehran88

New Member

mehran88

New Member

Yousefi

Well-Known Member

mehran88

New Member

mohammadi9

New Member

mehran88

New Member

hkh74

New Member