آزمون پایانی جبر دوره ی تابستان 89/5/17 سوال 4

M_Sharifi · 1389/5/17

سوال 4.
برای هر چند جمله ای

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

، مشتق

$P(x)$

را به صورت زیر تعریف می کنیم و آن را با نماد

$P'(x)$

نمایش می دهیم:

[center:35c09489a6]

$P'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1$

الف) برای هر دو چندجمله ای

$P(x)$

و

$Q(x)$

ثابت کنید (3 نمره)

$(P(x)Q(x))'=P(x)Q'(x)+P'(x)Q(x)$

[/center:35c09489a6]
ب) فرض کنید

$P(x)$

چندجمله ای درجه ی

$n$

با ریشه های

$x_1,x_2,\ldots,x_n$

باشد. ثابت کنید (3 نمره)

[center:35c09489a6]

$\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_{i=1}^n\frac1{x-x_i}$

[/center:35c09489a6]
ج)

$P(x)$

چندجمله ای تکین از درجه ی

$n$

است و

$z_1,z_2,\ldots,z_n$

ریشه های آن هستند که

[center:35c09489a6]

$|z_1|=1,\quad \forall i\in\{2,3,\ldots,n\},\quad |z_i|\leq 1$

[/center:35c09489a6]
ثابت کنید

$P'(x)$

حداقل یک ریشه در دیسک واحد بسته به مرکز

$z_1$

دارد. (20 نمره)

دیسک واحد بسته به مرکز

$z_1$

:

$D=\{z\in\Bbb C: |z-z_1|\leq1\}$