آموزش گام به گام حساب دیفرانسیل و انتگرال

Yousefi · 1391/4/1

سلام و درود خدمت تمامی کاربران تالار آیریسک،

در این تاپیک قصد دارم به شما عزیزان حساب دیفرانسل و انتگرال را آموزش دهم، البته با وجود اساتید و راهبرانی که در این سایت فعالیت می کنند، خود را در این حد نمی بینم. اما خوب است فقط از منابع این سایت استفاده نکنیم بلکه سعی کنیم به دیگران نیز چیزی یاد دهیم، البته من همیشه از بسیاری از کاربران اینجا یاد گرفته ام و برای قدر دانی از آنها و همچنین مدیریت این سایت که چنین محیطی را به وجود آورده تا بر دانش ما بیافزاید، این تاپیک را ایجاد نمودم تا کاربرانی که اطلاعات کمتری دارند، استفاده کنند. دیگران کاشتند و ما خوردیم، ما بکاریم و دیگران بخورند. سعی کنیم تنها استفاده کننده نباشیم.

خوب ابتدا از تعریف تابع شروع می کنم.

نقطه جوش آب به ارتفاع از سطح دریا بستگی دارد ، مساحت و محیط دایره به شعاع بستگی دارد ، کم شدن شارژ موبایل به زمان استفاده از آن بستگی دارد و ...
در حالت کلی اگر مقدار یک متغیر که آن را می توان y نامید به مقدار یک متغیر دیگر که آن را x می نامیم وابسته باشد می گوییم، «y تابعی از x است» و می نویسیم (y=f(x ، در این تعریف f تابع است، x متغیری مستقل و y متغیری است که به X وابسته است. یادمه در همین سایت یکی از کاربران پرسید تابع چیه و دیگری در جواب او گفت فکر کنید که تابع یه کارخونه است مثلا تابع f یک کارخونه کمپوت سازی است، اگر به آن سیب دهیم کمپوت سیب می دهد ، اگر به آن هلو دهیم ، کمپوت هلو بیرون می دهد و ...
حال می خواهم راجع به برد و دامنه تابع صحبت کنم، بگذارید تا با همین مثال کارخانه کمپوت سازی شروع کنم : گفتیم که این کارخانه کمپوت می سازد ولی اگر به این کارخانه چوب دهیم چه ؟ آیا کمپوت چوب می سازد ؟ اگر سیم دهیم چطور ؟ کاغذ جطور ؟ همانطور که می بینید ما فقط می توانیم به این کارخانه میوه دهیم، پس دامنه این کارخانه مجموعه میوه جات است و برد این کارخانه کمپوت این میوه هاست.
مثلا تابع (f(x) =sqrt(x را در نظر بگیرید « sqrt یعنی جذر » این تابع تنها به ازای اعداد حقیقی نامنفی تعریف شده است چون می دانیم که اعداد منفی جذر ندارند، پس دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی نامنفی است و برد آن نیز اعداد حقیقی نا منفی است. مثلاً تابع (f(x) = sin(x را در نظر بگیرید ، این تابع به ازای تمام اعداد حقیقی تعریف شده است پس دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی است ولی مقدار سینوس بین 1 و منفی 1 متغیر است پس برد این تابع را به صورت [1,1-] نشان می دهیم.
معمولا دامنه را با D و برد را با Y نشان می دهند.

ادامه دارد ...

Yousefi · 1391/4/1

پاسخ : آموزش گام به گام حساب دیفرانسیل و انتگرال

سلام

برخی مواقع یک تابع بر اساس جند ضابطه مختلف روی قسمت های مختلفی از دامنه اش شرح داده می شود مثل تابع قدر مطلق که به شکل :

$\left|x \right|=\begin{cases}x & \text{ if } x\geq 0 \\ -x & \text{ if } x<0\end{cases}$

اگر نمودار یک تابع در هنگامی که از سمت چپ به راست حرکت می کنیم بالا برود آن تابع صعودی و اگر پائین برود می گوییم این تابع نزولی است در واقع می توان این در جمله را به صورت :

$\begin{matrix} \forall x_1 > x_2 \in \text{I} , \text{If}(f(x_1)\leq f(x_2)) : f(x) \; \text{,Soudi} \\ \forall x_1 > x_2 \in \text{I} , \text{If}(f(x_1)\geq f(x_2)) : f(x) \; \text{,Nozouli} \end{matrix}$

بیان کرد.
و همچنین دو مفهوم تابع اکیدا نزولی یا اکیدا صعودی را به شکل زیر بیان می کنیم:

$\begin{matrix} \forall x_1 > x_2 \in \text{I} , \text{If}(f(x_1)< f(x_2)) : f(x) \; \text{,Akidan Soudi} \\ \forall x_1 > x_2 \in \text{I} , \text{If}(f(x_1)> f(x_2)) : f(x) \; \text{,Akidan Nozouli} \end{matrix}$

حال می خواهم دو تابع زوج و فرد را تعریف کنم ، نمودار این دو تابع ویژگی تقارن را دارد.

$\begin{matrix} \forall x\in D_f , \text{If}(f(-x)=f(x)) : f(x) \; \text{,Zoj} \\\forall x\in D_f , \text{If}(f(-x)=-f(x)) : f(x) \; \text{,Fard} \end{matrix}$

مثلا تابع f(x) = x^2 یک تابع زوج است و تابع f(x)=x یک تابع فرد.

ادامه دارد ...

نویسنده : حسین یوسفی
منبع : Irysc.com ، تالار گفتمان المپیاد آیریسک

Yousefi · 1391/4/2

ترکیب تابع

سلام، قسمت 3 آموزش رو شروع می کنم.

در ابتدا شما آموختید که روی اعداد میشه عملیات مختلفی انجام داد مثل جمع و ضرب و تقسیم و تفریق و ... سپس در دوران راهنمایی با مفهوم عبارات جبری آشنا شدیم و یاد گرفتید که چگونه بر روی آنها عملیات جمع و تفریق و تقسیم و ضرب و ... انجام دهید. حال می خواهم در این قسمت آموزش به شما بگئیم که همانند اعداد و عبارات ، توابع را نیز می توان ترکیب کرد. البته همانطور که می دانیم در مورد تقسیم نباید مخرج برابر صفر باشد.
عملیات میان توابع را به این صورت تعریف می کنیم :

$\begin{matrix}\forall x \in (D_f\cap D_g) : \\ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\ (f-g)(x)=f(x)-g(x) \\ (f.g)(x)=f(x).g(x) \\ (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)} , (g(x)\neq 0) \end{matrix}$

** ( قسمت اول یعنی به ازای هر x عضو دامنه مشترک دو تابع f و g )

ترکیب توابع

همانطور که گفتیم بین دو تابع می توان عملیات مختلف ریاضی انجام داد حال می خواهیم شما را با نحوه ای دیگر از ترکیب توابع آشنا کنیم، اگر دو تابع f و g را در نظر بگیریم می توانیم تابع ای به نام fog را به صورت ((f(g(x نشان داد. بخوانید ( اف اُ جی ). همچنین تابع gof نیز می توان به صورت ((g(f(x نشان داد.

این شکل به خوبی مفهوم تابع gof را نشان می دهد :

همان طور که می بینید تابع f به شکل یک کارخانه کشیده شده که ورودی آن x و خروجی آن (f(x است.

نویسنده : حسین یوسفی
منبع : Irysc.com ، تالار گفتمان المپیاد آیریسک
تا قسمت بعدی بدرود ...

Yousefi · 1391/4/9

انتقال، کشش و بازتاب نمودار یک تابع

سلام
قسمت چهارم رو شروع می کنم ، امیدوارم که تا به اینجای کار این آموزش ها براتون مفید بوده باشه.
می دونم که اکثرا با نمودار ها آشنا هستید، همونطور که توی سوم راهنمایی خوندید میشه خط هایی رو روی محور های مختصات رسم کرد و هر کدوم از اونها معادله ای دارند. می تونیم روی این محور ها منحنی هم رسم کنیم مثلا خط y=x^2 به شکل یک U کشیده میشه. یک روش متداول برای بدست اوردن یک تابع جدید ز تابع قبلی اضافه کردن مقداری ثابت به ضابطه تابع یا متغیر ورودی آن است. با این کار ما نمودار تابع را به صورت عمودی یا افقی جابجا میدهیم.
فرمول های انتقال به صورت زیر است:

$\begin{matrix}enteghale \; amoodi:f(x)+k \\ enteghale \; ofoghi(ghaem):f(x+k) \end{matrix}$

همچنین برای هر c>1 نمودار کشیده میشود:

$\begin{matrix}monghabeze\; amoodi :cf(x) \\ monbasete \; amoodi :\frac{f(x)}{c} \\ monghabeze \; ofoghi:f(cx) \\ monbasete \; ofoghi:f(\frac{x}{c}) \\ AND \; \text{If} \; c=-1 \; BAZTAB \end{matrix}$

و اگر c برابر 1- باشد، آنگاه نمودار بازتاب می شود.

$\begin{matrix} y=-f(x) : nesbat \; be \; x \; ha \\y=f(-x) : nesbat \; be \; y \; ha \end{matrix}$

تا قسمت بعدی بدرود ...

threehandsnal · 1391/4/9

پاسخ : انتقال، کشش و بازتاب نمودار یک تابع

کار خیلی قشنگی داری میکنی :3: با انرژی ادامه بده! موفق باشی :1:

من یه چیزیو میخواستم به دنبال حرفت بگم واسه توضیح بیشتر بخش 4 ام. واسه یاد گیری راحت تر.(البته این روش خودمه واسه راحتی کار!)

اگه تغییرات (همون ضرب و جمع و تقسیم) به طور مستقیم روی x اعمال بشه اونموقع برعکس اون تغییرات رو باید انجام بدین و اگه تغییرات مستقیم روی (f(x اعمال شد باید دقیقا همون تغییرا رو انجام بدیم! خوب اینهمه حرف زدم یعنی چی؟!:4:
1)یعنی اینکه اگه

$f(x+c)$

رو دیدیم که

$c>0$

باید نمودار رو به اندازه c به سمت چپ انتقال بدیم و اگه

$c<0$

باید نمودار رو به اندازه c به راست انتقال بدیم.
2)اگه

$f(cx)$

رو دیدیم که

$c>0$

بود اونموقع اگه

$c>1$

بود نمودار رو c برابر فشرده میکنیم (فشرده طولی! یعنی انگار داریم از راست و چپ لهش میکنیم) و اگه

$0<c<1$

بود نمودار رو c برابر گشاد میکنیم (گشاد طولی! یعنی از راست و چپ میکشیمش!)
حالا اگه

$f(cx)$

رو دیدیم که

$c<0$

بود اولش نمودار رو نسبت به محور y ها قرینه میکنیم و بعدش همون عملیات مربوط به

$c>0$

رو انجام میدیم.
3)اگه

$f(x)+c$

رو دیدم که

$c>0$

اونموقع نمودار رو به اندازه c بالا میبریم (عرضی!) و اگه

$c<0$

بود نمودار رو به اندازه c پایین میاریم (همونطور که گفتم عین تغییرات روی f رو انجام میدیم)
4)اگه

$cf(x)$

رو دیدیم که

$c>0$

بود اونموقع اگه

$c>1$

بود نمودار رو گشاد میکنیم (گشاد طولی! یعنی انگار نمودار رو از بالا و پایین داریم میکشیم) و اگه

$0<c<1$

بود نمودار رو تنگ میکنیم (تنگ عرضی! یعنی انگار نمودار رو داریم از بالا و پایین له میکنیم!).
حالا اگه

$f(cx)$

رو دیدیم که

$c<0$

بود اول نمودار رو نسبت به محور x ها قرینه میکنیم و بعدش همون عملیات مربوط به

$c>0$

رو انجام میدیم.

نکته: در صورت مشاهده

$\frac{f(x)}{c}$

اون رو برای راحتی محاسبات به

$\frac{1}{c}f(x)$

تبدیل میکنیم و همون عملیات (4) رو براش انجام میدیم.

همونطور که مشاهده کردین، اگه تغییرات مستقیما روی x باشه باید عکس اون تغییراتو انجام داد و اگه روی (f(x بود خود تغییرات رو اعمال میکنیم. یه نکته دیگه یاد گرفتن ترتیب اعمال تغییراته که اونم با تمرین و تکرار یاد میگیرین.
اینم چند تا مثال برای واضح تر شدن اطلاعات:

نویسنده: سهند سروری
منبع: www.IRYSC.com

threehandsnal · 1391/4/9

پاسخ : آموزش گام به گام حساب دیفرانسیل و انتگرال

اینم یه مثال:
فرض کنید تابع

$f(x)$

رو بهمون دادن و تابع

$f(2x+9)+3$

رو ازمون میخوان. یه راه نرمال واسه این کار اینه که چون

$f(2x+9)+3=f(2(x+4.5))+3$

بیایم اول

$f(x+4.5)$

رو محاسبه کنیم و بعدش قرار از روی اون با توضیح (2) توی پست 5# بیایم تابع

$f(2(x+4.5))=f(2x+9)$

رو رسم میکنیم و بعدش از روی اون نمودار تابع

$f(2x+9)+3$

رو بدست بیاریم.اینم شکلش که واضح تره:

نویسنده: سهند سروری
منبع: www.IRYSC.com

Yousefi · 1391/4/10

مقدمه ای بر توابع مثلثاتی

با سلام

از سهند عزیز واقعا ممنونم که به این زیبایی و با حوصله برامون نمودار ها رو واضح رسم و زحمت آپلودشون رو کشیده. چون ایشون هم کمک می کنند از بحث بیضی ها و دایره ها میگذرم و می خوام که وارد بحث شیرین توابع مثلثاتی بشم و در واقع بخش هفتم از آموزش ها رو شروع کنم. در ضمن از روز پیش این تاپیک مهم شده.
این بخش مروری است بر اندازه رادیان و توابع مثلثاتی.

زاویه های را معمولا یا بر اساس درجه اندازه گیری می کنند یا رادیان البته یک واحد فرعی دیگر به نام گراد نیز داریم که مبنای ده دهی را به کار می برد. (درجه مبنای 60 را به کار می برد)

اگر اندازه کمان آبی را با s .و اندازه شعاع را با r نشان دهیم و اگر زاویه به وجود آمده را تتا بنامیم اندازه زاویه به رادیان برابر است با

و هر گاه شعاع با اندازه کمان هم اندازه شود زاویه به وجود آمده برابر با 1 رادیان میشود ( حدودا 57.3 درجه)
اگر دایره ای با شعاع واحد (یک) در نظر بگیریم در مخرج تتا r برابر 1 است و نیز می دانیم که محیط دایره واحد 2pi است پس 2pi تقسیم بر 1 که میشود 2pi زاویه کل دایره است و نیز می دانیم که دایره 360 درجه است پس 360 درجه = 2pi رادیان و در نتیجه 180 درجه = pi رادیان. نتیجه می گیریم که

این عکس ها رو از ویکی پدیا استخراج کردم باعث میشه که آموزش ها واضح تر بشه :

این هم یه شکل باحال برای یادگیری

[TABLE="class: wikitable, width: 1"]
[TR]
[TH="bgcolor: #F2F2F2, align: center"]Units[/TH]
[TH="bgcolor: #F2F2F2, colspan: 8, align: center"]Values[/TH]
[/TR]
[TR]
[TD="bgcolor: #F2F2F2"]دور[/TD]
[TD="align: center"]0[/TD]
[TD="align: center"]1/12[/TD]
[TD="align: center"]1/8[/TD]
[TD="align: center"]1/6[/TD]
[TD="align: center"]1/4[/TD]
[TD="align: center"]1/2[/TD]
[TD="align: center"]3/4[/TD]
[TD="align: center"]1[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD="bgcolor: #F2F2F2"]درجه[/TD]
[TD="align: center"]0°[/TD]
[TD="align: center"]30°[/TD]
[TD="align: center"]45°[/TD]
[TD="align: center"]60°[/TD]
[TD="align: center"]90°[/TD]
[TD="align: center"]180°[/TD]
[TD="align: center"]270°[/TD]
[TD="align: center"]360°[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD="bgcolor: #F2F2F2"]رادیان[/TD]
[TD="align: center"]0[/TD]
[TD="align: center"]

[/TD]
[TD="align: center"]

[/TD]
[TD="align: center"]2

[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD="bgcolor: #F2F2F2"]گراد[/TD]
[TD="align: center"]0[SUP]g[/SUP][/TD]
[TD="align: center"]

[/TD]
[TD="align: center"]50[SUP]g[/SUP][/TD]
[TD="align: center"]

[/TD]
[TD="align: center"]100[SUP]g[/SUP][/TD]
[TD="align: center"]200[SUP]g[/SUP][/TD]
[TD="align: center"]300[SUP]g[/SUP][/TD]
[TD="align: center"]400[SUP]g

[/SUP][/TD]
[/TR]
[/TABLE]

خب حالا حتما می گید خب به چه دردی میخوره ؟؟؟ باید گفت که برای حسابان و دیفرانسیل و انتگرال باید از رادیان استفاده کرد، رسم نمودار ها و ... همه بر پایه همین رادیان هست، مثلا توی قسمت 5 آموزش اون نمودار (f(x که سهند جان رسم کرده (sin(x هستش اگه دقت کنید توی نقطه ی pi صفر میشه:

ادامه دارد...

نویسنده : حسین یوسفی
منبع : تالار گفتمان آیریسک

Yousefi · 1391/5/8

پاسخ : آموزش گام به گام حساب دیفرانسیل و انتگرال

سلام، خیلی وقته که وقت نداشتم تا این قسمت رو کمی کامل تر کنم.
میخوام یکم راجع به حد توضیح بدم و این که مفهومشو بلد باشین. مثلا مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره ای به شعاع واحد رو در نظر بگیرید. حالا مساحت یک مربع و ... و مساحت یک 1000 ضلعی منتظم محاط در دایره بسیار نزدیک به مساحت دایره است. اگر مساحت یک k ضلعی منتظم محاط در دایره رو با

$S_k$

نشون بدیم، برای ما قابل درکه که هر چه k بزرگتر بشه، مساحت نیز به مساحت دایره به شعاع واحد یعنی

$\pi$

نزدیک تر میشه. البته فکر میکنم که کمتر کسی همچنین مثالی رو برای شروع حد میزنه، اما من میخواستم یکم قابل درک تر باشه. می دونیم که بی نهایت رو که با

$\infty$

نشونش میدیم، از هر عدد حقیقی مثبتی بزرگتره پس هر چی که k به سمت

$\infty$

میل کنه مساحت یعنی

$S_k$

هم به سمت

$\pi$

میره. ما میتونیم این جمله رو که به فارسی نوشته شده، به زبان ریاضی به شکل زیر بنویسیم:

$\lim_{k \to \infty }S_k=\pi$

عبارت بالا بدین معناست که اگر

$k$

به اندازه کافی بزرگ شود،

$S_k$

به اندازه دلخواه به

$\pi$

نزدیک میشود.
به طور کلی حد زیر رو میخوایم به زبان فارسی بگیم که یعنی چی :

$\lim_{x \to c }f(x)=L$

حد تابع (f(x هنگامی که x به c میل میکند برابر است با L.
برای مثال میخواهیم حد زیر را بدست آوریم:

$\lim_{x \to 1 }\frac{x^2-1}{x-1}=?$

$\left ( f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \right )$

البته این تابع در نقطه

$x_o=1$

مبهم و تعریف نشده است. اما اگر جدولی به صورت زیر بکشیم چیزی را متوجه خواهیم شد.

$\left\{\begin{matrix}1)f(0.9)=1.900 \\2)f(0.99)=1.990 \\3)f(0.999)=1.999 \\ 4)f(1.0)=\text{tarif nashode} \\ 5)f(1.001)=2.001 \\ 6)f(1.01)=2.010 \\ 7)f(1.1)=2.100 \end{matrix}\right.$

از این میفهمیم که هرچقدر که مقدار x به سمت 1، چه از راست (اعداد بزرگتر از 1) و چه از چپ (اعداد کوچکتر از 1) نزدیک شود. مقدار تابع (f(x نیز به سمت 2 نزدیک میشود. همچنین نمودار این تابع همه چیز را به واضحی نشان میدهد.

پس

$\lim_{x \to 1 }\frac{x^2-1}{x-1}=2$

آموزش گام به گام حساب دیفرانسیل و انتگرال

Yousefi

Well-Known Member

Yousefi

Well-Known Member

Yousefi

Well-Known Member

Yousefi

Well-Known Member

threehandsnal

New Member

threehandsnal

New Member

Yousefi

Well-Known Member

Yousefi

Well-Known Member