اثباتی از اتحاد اویلر

Mostafa_ · 1392/2/20

سلام دوستان من داشتم یه مطلبی در مورد اتحاد ها می خوندم تا اینکه رسیدم به اتحاد اویلر .... زیرش اثباتشم نوشته بود .... من تو یه جای اثباتش یه مشکلی پیدا کردم و هر چی هم فکر کردم با اون چیزی که تو کتاب نوشته بود تفاوت داشت ... این عین متن کتابه:

اتحاد اویلر

اتحاد اویلر به شکل زیر می باشد:

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

برای اثباتی از این اتحاد، عبارت زیر را در نظر بگیرید:

واضح است اگر در این عبارت به جای

$x$

قرار دهیم

$a$

،

$b$

یا

$c$

، حاصل عبارت صفر می شود. به عبارت دیگر

$P(a)=P(b)=P(c)=0$

. حال از بسط این عبارت خواهیم داشت:

$P(x)=x^{3}-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc$

که اگر

$x=a,b,c$

را در آن جایگذاری کنیم، داریم:

$x=a: 0=P(a)=a^3-(a+b+c)a^2+(ab+bc+ac)a-abc$

$x=b: 0=P(b)=b^3-(a+b+c)b^2+(ab+bc+ac)b-abc$

$x=c: 0=P(c)=c^3-(a+b+c)c^2+(ab+bc+ac)c-abc$

****از مجموع سه تساوی فوق به دست می آید:

$0=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ac)(a+b+c)-3abc$

$0=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)-3abc$

*****
در نتیجه به رابطه ی زیر که همان اتحاد اویلر است می رسیم:

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

حالا مشکل من اینجاست که عبارت

$0=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ac)(a+b+c)-3abc$

چه جوری به عبارت

$0=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)-3abc$

تبدیل شده؟؟؟

ظاهرا باید از

$(a+b+c)$

فاکتور گرفته باشه در صورتی گه اگر از

$(a+b+c)$

فاکتور بگیره عبارت مورد نظر به اینصورت در میاد:

$0=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)-3abc$

حالا اشتباه من کجاست؟؟؟؟؟

Al!R3ZA · 1392/2/20

پاسخ : اثباتی از اتحاد اویلر

از منفی اون عبارتی که گفتید یعنی :

$-(a+b+c)$

فاکتور گرفته.
به منفی اون پشت دقت کنید

اثباتی از اتحاد اویلر

Mostafa_

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member