اعداد صحیح a^n+b^n+c^n
- شروع کننده موضوع M_Sharifi
- تاریخ شروع
- برچسپ ها استفاده اعداد اعداد صحیح حقیقی ریشه سوال عدد طبیعی چندجمله ای
- ارسال ها
- 302
- لایک ها
- 5
- امتیاز
- 0
تعريف مي‌كنيم X[SUB]n[/SUB] = a[SUP]n[/SUP]+b[SUP]n[/SUP]+c[SUP]n[/SUP] و p = a+b+c و q=ab+bc+ca و r=abc به وضوح a و b و c ريشه‌هاي معادله‌ي x[SUP]3[/SUP] - px[SUP]2[/SUP] + qx - r هستن.
داريم ( با استفاده از X[SUB]n+3[/SUB] = pX[SUB]n+2[/SUB] - qX[SUB]n+1[/SUB] + rX[SUB]n[/SUB] كه اونم به راحتي ثابت ميشه ) :
X[SUB]1[/SUB] = p
X[SUB]2[/SUB] = p[SUP]2[/SUP] - 2q
X[SUB]3[/SUB] = p[SUP]3[/SUP] - 3pq + 3r
X[SUB]4[/SUB] = p[SUP]4[/SUP] - 4p[SUP]2[/SUP]q + 2q[SUP]2[/SUP] + 4pr
از دومي نتيجه ميشه 2q صحيحه. از سومي نتيجه ميشه pq-3r صحيحه. اگه تو دومي طرفينو در 2 ضرب كنيم مي‌فهميم كه 6r هم صحيحه.
از چهارمي مي‌فهميم كه 2q[SUP]2[/SUP] + 4pr صحيحه پس دو برابرش هم صحيحه يعني 8pr هم صحيحه. چون 6pr هم صحيحه پس 2pr صحيح ميشه. پس 2q[SUP]2[/SUP] صحيحه. مي‌دونيم 2q صحيحه . اگه q صحيح نباشه نصف يه عدد فرده پس 2q[SUP]2[/SUP] نميتونه صحيح باشه پس q حتما صحيحه از صحيح بودن q و X[SUB]3[/SUB] نتيجه ميگيريم كه 3r صحيحه پس 3pr صحيحه. چون از قبل مي‌دونستيم 2pr صحيحه حتما pr صحيحه. از فرمول X[SUB]n+3[/SUB] = pX[SUB]n+2[/SUB] - qX[SUB]n+1[/SUB] + rX[SUB]n[/SUB] متوجه ميشيم كه rX[SUB]n[/SUB] صحيحه پس rX[SUB]2[/SUB] و rX[SUB]3[/SUB] صحيحه. از صحيح بودن rX[SUB]2[/SUB] مي‌فهميم كه 2qr صحيحه و چون 3r و در نتيجه 3qr صحيحه حتما qr هم صحيحه. از صحيح بودن rX[SUB]3[/SUB] مي‌فهميم كه 3r[SUP]2[/SUP] صحيحه . اما مي‌دونيم كه 3r هم صحيحه اگه r صحيح نباشه بايد 1/3 عددي كه مضرب 3 نيست باشه اونوقت 3r[SUP]2[/SUP] نميتونه صحيح باشه پس r هم صحيحه.
داريم ( با استفاده از X[SUB]n+3[/SUB] = pX[SUB]n+2[/SUB] - qX[SUB]n+1[/SUB] + rX[SUB]n[/SUB] كه اونم به راحتي ثابت ميشه ) :
X[SUB]1[/SUB] = p
X[SUB]2[/SUB] = p[SUP]2[/SUP] - 2q
X[SUB]3[/SUB] = p[SUP]3[/SUP] - 3pq + 3r
X[SUB]4[/SUB] = p[SUP]4[/SUP] - 4p[SUP]2[/SUP]q + 2q[SUP]2[/SUP] + 4pr
از دومي نتيجه ميشه 2q صحيحه. از سومي نتيجه ميشه pq-3r صحيحه. اگه تو دومي طرفينو در 2 ضرب كنيم مي‌فهميم كه 6r هم صحيحه.
از چهارمي مي‌فهميم كه 2q[SUP]2[/SUP] + 4pr صحيحه پس دو برابرش هم صحيحه يعني 8pr هم صحيحه. چون 6pr هم صحيحه پس 2pr صحيح ميشه. پس 2q[SUP]2[/SUP] صحيحه. مي‌دونيم 2q صحيحه . اگه q صحيح نباشه نصف يه عدد فرده پس 2q[SUP]2[/SUP] نميتونه صحيح باشه پس q حتما صحيحه از صحيح بودن q و X[SUB]3[/SUB] نتيجه ميگيريم كه 3r صحيحه پس 3pr صحيحه. چون از قبل مي‌دونستيم 2pr صحيحه حتما pr صحيحه. از فرمول X[SUB]n+3[/SUB] = pX[SUB]n+2[/SUB] - qX[SUB]n+1[/SUB] + rX[SUB]n[/SUB] متوجه ميشيم كه rX[SUB]n[/SUB] صحيحه پس rX[SUB]2[/SUB] و rX[SUB]3[/SUB] صحيحه. از صحيح بودن rX[SUB]2[/SUB] مي‌فهميم كه 2qr صحيحه و چون 3r و در نتيجه 3qr صحيحه حتما qr هم صحيحه. از صحيح بودن rX[SUB]3[/SUB] مي‌فهميم كه 3r[SUP]2[/SUP] صحيحه . اما مي‌دونيم كه 3r هم صحيحه اگه r صحيح نباشه بايد 1/3 عددي كه مضرب 3 نيست باشه اونوقت 3r[SUP]2[/SUP] نميتونه صحيح باشه پس r هم صحيحه.
mohammad_72 گفت
تعريف مي‌كنيم X[SUB]n[/SUB] = a[SUP]n[/SUP]+b[SUP]n[/SUP]+c[SUP]n[/SUP] و p = a+b+c و q=ab+bc+ca و r=abc به وضوح a و b و c ريشه‌هاي معادله‌ي x[SUP]3[/SUP] - px[SUP]2[/SUP] + qx - r هستن.
داريم ( با استفاده از X[SUB]n+3[/SUB] = pX[SUB]n+2[/SUB] - qX[SUB]n+1[/SUB] + rX[SUB]n[/SUB] كه اونم به راحتي ثابت ميشه ) :
X[SUB]1[/SUB] = p
X[SUB]2[/SUB] = p[SUP]2[/SUP] - 2q
X[SUB]3[/SUB] = p[SUP]3[/SUP] - 3pq + 3r
X[SUB]4[/SUB] = p[SUP]4[/SUP] - 4p[SUP]2[/SUP]q + 2q[SUP]2[/SUP] + 4pr
از دومي نتيجه ميشه 2q صحيحه. از سومي نتيجه ميشه pq-3r صحيحه. اگه تو دومي طرفينو در 2 ضرب كنيم مي‌فهميم كه 6r هم صحيحه.
از چهارمي مي‌فهميم كه 2q[SUP]2[/SUP] + 4pr صحيحه پس دو برابرش هم صحيحه يعني 8pr هم صحيحه. چون 6pr هم صحيحه پس 2pr صحيح ميشه. پس 2q[SUP]2[/SUP] صحيحه. مي‌دونيم 2q صحيحه . اگه q صحيح نباشه نصف يه عدد فرده پس 2q[SUP]2[/SUP] نميتونه صحيح باشه پس q حتما صحيحه از صحيح بودن q و X[SUB]3[/SUB] نتيجه ميگيريم كه 3r صحيحه پس 3pr صحيحه. چون از قبل مي‌دونستيم 2pr صحيحه حتما pr صحيحه. از فرمول X[SUB]n+3[/SUB] = pX[SUB]n+2[/SUB] - qX[SUB]n+1[/SUB] + rX[SUB]n[/SUB] متوجه ميشيم كه rX[SUB]n[/SUB] صحيحه پس rX[SUB]2[/SUB] و rX[SUB]3[/SUB] صحيحه. از صحيح بودن rX[SUB]2[/SUB] مي‌فهميم كه 2qr صحيحه و چون 3r و در نتيجه 3qr صحيحه حتما qr هم صحيحه. از صحيح بودن rX[SUB]3[/SUB] مي‌فهميم كه 3r[SUP]2[/SUP] صحيحه . اما مي‌دونيم كه 3r هم صحيحه اگه r صحيح نباشه بايد 1/3 عددي كه مضرب 3 نيست باشه اونوقت 3r[SUP]2[/SUP] نميتونه صحيح باشه پس r هم صحيحه.
داريم ( با استفاده از X[SUB]n+3[/SUB] = pX[SUB]n+2[/SUB] - qX[SUB]n+1[/SUB] + rX[SUB]n[/SUB] كه اونم به راحتي ثابت ميشه ) :
X[SUB]1[/SUB] = p
X[SUB]2[/SUB] = p[SUP]2[/SUP] - 2q
X[SUB]3[/SUB] = p[SUP]3[/SUP] - 3pq + 3r
X[SUB]4[/SUB] = p[SUP]4[/SUP] - 4p[SUP]2[/SUP]q + 2q[SUP]2[/SUP] + 4pr
از دومي نتيجه ميشه 2q صحيحه. از سومي نتيجه ميشه pq-3r صحيحه. اگه تو دومي طرفينو در 2 ضرب كنيم مي‌فهميم كه 6r هم صحيحه.
از چهارمي مي‌فهميم كه 2q[SUP]2[/SUP] + 4pr صحيحه پس دو برابرش هم صحيحه يعني 8pr هم صحيحه. چون 6pr هم صحيحه پس 2pr صحيح ميشه. پس 2q[SUP]2[/SUP] صحيحه. مي‌دونيم 2q صحيحه . اگه q صحيح نباشه نصف يه عدد فرده پس 2q[SUP]2[/SUP] نميتونه صحيح باشه پس q حتما صحيحه از صحيح بودن q و X[SUB]3[/SUB] نتيجه ميگيريم كه 3r صحيحه پس 3pr صحيحه. چون از قبل مي‌دونستيم 2pr صحيحه حتما pr صحيحه. از فرمول X[SUB]n+3[/SUB] = pX[SUB]n+2[/SUB] - qX[SUB]n+1[/SUB] + rX[SUB]n[/SUB] متوجه ميشيم كه rX[SUB]n[/SUB] صحيحه پس rX[SUB]2[/SUB] و rX[SUB]3[/SUB] صحيحه. از صحيح بودن rX[SUB]2[/SUB] مي‌فهميم كه 2qr صحيحه و چون 3r و در نتيجه 3qr صحيحه حتما qr هم صحيحه. از صحيح بودن rX[SUB]3[/SUB] مي‌فهميم كه 3r[SUP]2[/SUP] صحيحه . اما مي‌دونيم كه 3r هم صحيحه اگه r صحيح نباشه بايد 1/3 عددي كه مضرب 3 نيست باشه اونوقت 3r[SUP]2[/SUP] نميتونه صحيح باشه پس r هم صحيحه.