اعداد مختلط

rezoos · 1388/12/13

1.با استفاده از خواص اعداد مختلط ثابت کنید:
(الف)

ب)

TG-100 · 1388/12/13

rezoos جون اولی اینطوریه:

M_Sharifi · 1388/12/22

[center:121015be47]

الف) داریم

$cos5\theta+i\sin5\theta=(\cos\theta+i\sin\theta)^5\\ =\cos^5\theta+5i\cos^4\theta\sin\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta\\-10i\cos^2\theta\sin^3\theta+5i\cos\theta\sin^4\theta+i\sin^5\theta$

حالا کافیه قسمت های حقیقی دو طرف رو با هم برابر قرار بدیم.
ب) اعداد

$\cos\frac{2k\pi}7+i\sin\frac{2k\pi}7,\quad k=1,2,\ldots,6$

ریشه های معادله ی

$z^6+z^5+\cdots+1=0$

هستند. بنابراین مجموع آن ها طبق روابط ویت، برابر

$-1$

است. بنابراین

[/center:121015be47]

[center:121015be47]

$\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cdots+\cos\frac{12\pi}7=-1$

حالا کافیه از روابط مثلثاتی

$\cos\frac{2\pi}7=\cos\frac{12\pi}7=-\cos\frac{5\pi}7,\ldots$

استفاده کنیم.

[/center:121015be47]

اعداد مختلط

rezoos

New Member

TG-100

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی