المپیاد 1960

ghobadi · 1390/11/5

اگه وتر مثلث abc را به n قطعه ی مساوی تقسیم کنیم ،(Nعددی صحیح و فرد است) حالا اگه قطعه ای که شامل وسط وتر مثلث abc باشد با زاویه a حاده ی دیده شود و h طول ارتفاع وارد بر وتر مثلث باشد ثابت کنید

a نیز طول وتر مثلث قائم الزاویه است)

$tan\alpha =\frac{4nh}{(n^{2}-1)a}$

threehandsnal · 1390/11/5

پاسخ : المپیاد 1960

فرض کنید در مثلث ABC ، نقطه M وسط ضلع BC باشد.و H نقطه پای ارتفاع ضلع a باشد و

$BH\leq HC$

. و پاره خط XY کوچترین پاره خط ایجاد شده ی دربردارنده ی M باشد یعنی

$XY=\frac{a}{n}$

و

$XH< YH$

.اگر

$\widehat{HAX}=\beta ,\widehat{HAY}=\gamma$

آنگاه واضح است که

$\alpha =\gamma -\beta$

پس:

$tan \, \alpha =tan(\gamma -\beta )=\frac{tan\gamma -tan\beta }{1+tan\gamma tan\beta }$

$\left\{\begin{matrix} tan \beta =\frac{HX}{AH}=\frac{BM-XM-BH}{AH}=\frac{a-2t}{2h}-\frac{a}{2nh}\\ tan\gamma =\frac{HY}{AH}=\frac{BM-BH+MY}{AH}=\frac{a-2t}{2h}+\frac{a}{2nh}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$

,

$AH=h$

و

$BH=t$

$\Rightarrow tan \alpha =\frac{\frac{a}{nh}}{1+\frac{a^{2}(n^{2}-1)-4n^{2}t(a-t)}{4n^{2}h^{2}}}$

$\Delta AHC\sim \Delta ABH\Rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}\Rightarrow AH^{2}=BH.CH\Rightarrow h^{2}=t(a-t)$

پس از ساده سازی:

$\Rightarrow tan \alpha =\frac{4nha}{4n^{2}at-4n^{2}t^{2}+a^{2}n^{2}-a^{2}-4n^{2}at+4n^{2}t^{2}}\Rightarrow tan\alpha =\frac{4nh}{a(n^{2}-1)}$

المپیاد 1960

ghobadi

New Member

threehandsnal

New Member