اگر m به رقم 5 ختم شود ...

rezashiri · 1389/7/3

ثابت کنید اگر عدد m با رقم 5 به پایان برسد آنگاه

$1991 \mid 12^m+9^m+8^m+6^m$

mahdisaj · 1389/7/3

$12^{m}+9^{m}+8^{m}+6^{m}=3^{m}4^{m}+3^{m}3^{m}+4^{m}2^{m}+3^{m}2^{m}=(3^{m}+4^{m})(3^{m}+2^{m})$

قبل از ادامه ی حل ابتدا لم زیر را بیان می کنیم :
اگر p عددی اول و x, y , n طبیعی باشند داریم :

$p\mid x+y\rightarrow p\mid x^{n}+y^{n}$

اثبات به عهده ی خواننده

حال به حل مسیله می پردازیم :

$m=10k+5=5(2k+1)$

$3^{m}+2^{m}\equiv 1-1\equiv 0 (mod 11)$

$3^{m}+4^{m}\equiv 119^{2k+1}+62^{2k+1}(mod 181)$

$181\mid 119+62$

پس طبق لم گفته شده داریم :

$181\mid 119^{2k+1}+62^{2k+1}$

پس

$181\mid 3^{m}+4^{m}$

پس داریم :

$1991 \mid 12^m+9^m+8^m+6^m$

اگر مشکلی داشت لطفا بگید

mrbayat · 1389/7/3

mahdisaj گفت

$p\mid x+y\Rightarrow x\overset{p}{\equiv }-y\Rightarrow x^n\overset{p}{\equiv }(-y)^n\Rightarrow p\mid x^n-(-y)^n\overset{n\overset{2}{\equiv }1}{\Rightarrow} p\mid x^n+y^n$

پس برای هر n طبیعی برقرار نیست و n باید فرد باشد.

rezashiri · 1389/7/3

راه حل من اینه :

چون رقم آخرش 5 هستش پس

$m=5k$

که k عددی فرد است.

حال داریم:

$12^m+9^m+8^m+6^m=248832^k+59049^k+32758^k+7776^k \\ \Rightarrow 248832^k+59049^k+32758^k+7776^k\equiv (-1)^k+(-1)^k+1^k+1^k\equiv 0(mod11) \\ \Rightarrow248832^k+59049^k+32758^k+7776^k\equiv (-43)^k+43^k+7^k+(-7)^k\equiv 0(mod181)$

که حکم را نتیجه می دهد.

اگر m به رقم 5 ختم شود ...

rezashiri

Well-Known Member

mahdisaj

New Member

mrbayat

New Member

rezashiri

Well-Known Member