اگر p عددي اول و...

Olympiad · 1388/12/14

p عددي اول و فرد است كه براي اعداد طبيعي x و y داريم

$p=x^5-y^5$

ثابت كنيد ميتوان نوشت

$\sqrt{\frac{4p+1}{5}}=\frac{v^2+1}{2}$

كه

$v$

عددي صحيح و فرد است.

ArseneLupin · 1389/5/4

$p=x^{5}-y^{5}=(x-y) (x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4})$

که با توجه به اول بودن نتیجه میگیریم

$x-y=1$

.پ

$p=(y+1)^{5}-y^{5}=5y^{4}+10y^{3}+10y^{2}+5y+1$

.باتوجه به این حاصل

$\sqrt{}\frac{4p+1}{5}$

برابر

$2y^{2}+2y+1$

خواهد بود که در واقع همان

$\frac{(2y+1)^{2}+1}{2}$

است که در اون

$v=2y+1$

.(فکر کنم راه حل راحت تری هم باشه ولی فکر نکنم راه حل من غلط باشه.)