بخش پذیری x_j^j بر x_i^i
عدد دلخواه
را در نظر بگیرید.
ما سعی می‌کنیم روابطی را درمورد بخشپذیر بودنه بعضی از اعداد دنباله ی مذکور را بر این عدد پیدا کنیم.
فرض کنید که عدد دلخواه ما به ازای
ای عدد
را بشمرد.
حال تمامی جملات دنباله را از
امین به قبل را حذف می‌کنیم.
حالا دنباله را به پیمانهٔ عدد دلخواه مان مینویسیم.
به این صورت در میاید...
چون تعداد زوجهای
به پیمانهٔ عدد
حداکثر
می‌باشد پس به ازای دو مقداری مانند
این دنباله متناوب در میاید...
یعنی به این صورت...
از طرفی به این نکته توجه باید کرد که اگر دوباره عدد صفر در دنباله به پیمانهٔ عدد
تکرار شود آنگاه آن دنبال متناوب ساده خواهد بود.
داریم...
که نتیجه میدهد...
پس تعریف می‌کنیم
وبه دست می آوریم
و این دفعه دو دنبالهٔ زیر را که هر یک دنبالهٔ داده شده در مساله (از جملهٔ
به بعد ) میباشند را به طور جداگانه به پیمانهٔ
و
مینویسیم و به دست می‌آوریم ...
و
این بالا رو اشکال تایپی دارم به جای k بگذارید k-1 و به همین ترتیب برای l ...
پس این یعنی این که اگر دو عدد s و d ای وجود داشته باشند که
آنگاه به دست میاید ..
اما این عدد وجود دارد چرا که کافیست آن دو مقدار را به این صورت انتخاب کنیم...
البته باید به جای
گفت
(زیرا ما جملات
ام به قبل را حذف کردیم) اما چون دیگر از این جا به بعد اندیس مهم نیست( و فقط بزرگی آن مهم است ) از این مورد صرف نظر می کنیم.
حال داریم...
حالا تبدیل زیر را انجام میدهیم (توجه کنید که عدد ما دلخواه بود پس میتونیم این کار را بکنیم)...
با این کار ما می‌خواهیم عدد مناسب
را بیابیم که
...
برای این کار چند حالت را برای عدد اول شمرندهٔ ک م م در نظر میگیریم
۳ حالت داریم .برای حالت اول داریم...
و
که نتیجه میدهد اگر
پس برای این حالت مشکلی نداریم... یعنی برای هر کدام از آن دسته اعداد اول و هر عدد
داریم
وحالت بعدی که مشابه حالت قبلی است...
و
پس یه مشکلی باید در حالت سوم باشد...
ولی برای حالت آخری داریم
و
یکی از این دو مقدار را دوخط میکند و دیگری را شاید دو خط نکند.اما داریم
که در آن
پس دیگر با اطمینان نمیتوان گفت
...مشکل اینجاست...
ولی چون عدد
عددی ثابت هست ولی عدد
ثابت نیست و همواره در حال افزایش هست (با بزرگتر شدن
)
ای پیدا خواهد شد که
که این نتجه میدهد
و در نتیجه با بررسی تمامی حالات برای عدد اول شمرندهٔ
نتیجه شد
...
پس برای هر
ای ثابت کردیم
وجود دارد که
برای قسمت ب هم که با توجه به آنچه گفت شد چنین
ای حتما وجود دارد ...
البته امیدوارم که سوتی نداده باشم برای قسمت ب...
ما سعی می‌کنیم روابطی را درمورد بخشپذیر بودنه بعضی از اعداد دنباله ی مذکور را بر این عدد پیدا کنیم.
فرض کنید که عدد دلخواه ما به ازای
حال تمامی جملات دنباله را از
حالا دنباله را به پیمانهٔ عدد دلخواه مان مینویسیم.
به این صورت در میاید...
چون تعداد زوجهای
یعنی به این صورت...
از طرفی به این نکته توجه باید کرد که اگر دوباره عدد صفر در دنباله به پیمانهٔ عدد
داریم...
که نتیجه میدهد...
پس تعریف می‌کنیم
و این دفعه دو دنبالهٔ زیر را که هر یک دنبالهٔ داده شده در مساله (از جملهٔ
و
این بالا رو اشکال تایپی دارم به جای k بگذارید k-1 و به همین ترتیب برای l ...
پس این یعنی این که اگر دو عدد s و d ای وجود داشته باشند که
اما این عدد وجود دارد چرا که کافیست آن دو مقدار را به این صورت انتخاب کنیم...
البته باید به جای
حال داریم...
حالا تبدیل زیر را انجام میدهیم (توجه کنید که عدد ما دلخواه بود پس میتونیم این کار را بکنیم)...
با این کار ما می‌خواهیم عدد مناسب
برای این کار چند حالت را برای عدد اول شمرندهٔ ک م م در نظر میگیریم
۳ حالت داریم .برای حالت اول داریم...
پس برای این حالت مشکلی نداریم... یعنی برای هر کدام از آن دسته اعداد اول و هر عدد
وحالت بعدی که مشابه حالت قبلی است...
پس یه مشکلی باید در حالت سوم باشد...
ولی برای حالت آخری داریم
ولی چون عدد
ای پیدا خواهد شد که
و در نتیجه با بررسی تمامی حالات برای عدد اول شمرندهٔ
پس برای هر
برای قسمت ب هم که با توجه به آنچه گفت شد چنین
البته امیدوارم که سوتی نداده باشم برای قسمت ب...
راه حلش یه همچین چیزیه (ولی خیلی طولانی نوشته بودی).
در واقع اگر
و
، عدد
وجود دارد که
. ضمن این که جملات
با جملات
متناظرا به پیمانه ی
هم نهشت میشن.
بنابراین اگه
عوامل اول
باشند، برای هر
داریم
. حالا اگه
رو به اندازه ی کافی بزرگ انتخاب کنیم، قسمت (الف) اثبات مبشه.
قسمت (ب) لزوما درست نیست. مثال نقضش رو بگید.
در واقع اگر
بنابراین اگه
قسمت (ب) لزوما درست نیست. مثال نقضش رو بگید.
khodam ham ye jurayi fahmidam ke esbatam dar bazi az bakhshha ba x_1 jur dar nemiyad baraye mesal x_2 mitune be peymaneye x_1 hamnehesht ba 1 nabashe.banabarin dige momkene un doreye tanavobe sade baraye yek adade avale p (shemarandeye x_1) be vojud nayad.pas mesale naghz ham bayad bar hamin asas bashe.va in ham ye mesale naghz:
x_1=33,x_2=20
be rahati mishe chek kard ke doreye tanavob baraye an ke x_i be peymaneye 3 barabare ba 0 beshavad barabar ba 4m+4 ast vali baraye 11 barabare ba 6s+5 ast va tasaviye in do meghdar be hich vajh momken nist.
yani in ke 11|x_{6s+5} va 3 | x_{4m+4} va hich vaght nadarim 4m+4=6s+5
x_1=33,x_2=20
be rahati mishe chek kard ke doreye tanavob baraye an ke x_i be peymaneye 3 barabare ba 0 beshavad barabar ba 4m+4 ast vali baraye 11 barabare ba 6s+5 ast va tasaviye in do meghdar be hich vajh momken nist.
yani in ke 11|x_{6s+5} va 3 | x_{4m+4} va hich vaght nadarim 4m+4=6s+5