پاسخ : تابعیه خیلی ساده نیست...
=0&space;,&space;f(y_0)\neq&space;0\Rightarrow&space;(x_0&space;,&space;y_0)\Rightarrow&space;x_0&space;=0)
پس فقط (f(0 میتونه صفر باشه ....
&space;\Rightarrow&space;f(-1&space;+&space;f(-1)^2)&space;=&space;0)
راحت می‌شه دید که f جواب اگر و فقط اگر f- جواب باشه پس فرض می‌کنیم که
=-1})
----------------------------------------------------------------------------------------------
)
:
\Rightarrow&space;f(&space;\underbrace{x-f(x)}_b)=\underbrace{f(x)-x&space;}_{-b}&space;\Rightarrow&space;f(b)=-b)
فرض هم می‌کنیم که b صفر نیست !
\Rightarrow&space;f(b-1)=b-1&space;\:&space;\:&space;\:&space;\rightarrow&space;P(-1,b-1)&space;\Rightarrow&space;\boxed&space;{f(-b)=-b})
همچنین داریم
}&space;,&space;y_0)&space;\Rightarrow&space;\exists&space;\:&space;c,d&space;:f(c)=f(d)+2)
\Rightarrow&space;f(b-bf(c))=-b+bf(c)&space;&&space;\\&space;P(-b,d)\Rightarrow&space;f(-b-bf(d))=-b-bf(d)&space;&&space;\\&space;b-bf(c)=-b-bf(d)&space;&&space;\end{matrix}\right.&space;\Rightarrow&space;-b+bf(c)=-b-bf(d)\overset{b\neq&space;0&space;,&space;f(c)=f(d)+2}{\rightarrow}&space;f(c)=1)
پس f یه چیزی 1 می‌شه !
---------------------------------------------------------------------------------------------
)=f(x))
:
\Rightarrow&space;f(-1-f(x))=-1-f(x)\rightarrow&space;f(-1-f(-1-f(x)))=-1-f(-1-f(x)))
)=f(x))
---------------------------------------------------------------------------------------------
=1)
:
)=f(c)&space;\Rightarrow&space;f(1)=1)
---------------------------------------------------------------------------------------------
با استفاده از یک و منفی یک روابط زیر راحت بدست میان :
)=1+f(x)}&space;,&space;\boxed{f(1-f(x))=1-f(x)}\rightarrow&space;\boxed{f(-f(x))=-f(x)})
)=2f(x)&space;\overset{(\frac{-1}{2}&space;,&space;2f(\frac{-1}{2}))&space;}{\rightarrow}&space;\exists&space;\:&space;e&space;:&space;f(e)=\frac{1}{2})
----------------------------------------------------------------------
=x)
:
\Rightarrow&space;f(x+\frac{f(x)}{2})&space;=f(x)+\frac{x}{2})
)=2f(x)\rightarrow&space;f(2f(x+\frac{f(x)}{2}))=&space;2f(f(x+\frac{f(x)}{2}))=2f(x)+x)
از طرف دیگه :
\Rightarrow&space;f(x+2f(x))=f(x)+2x)
)=f(x)&space;\Rightarrow&space;f(x)+2x&space;=&space;2(x+\frac{f(x)}{2}&space;)\Rightarrow&space;\boxed{f(x)=x})
(آخرش هم از این استفاده کردم که :
که نتیجه میده
+2x=x+2f(x))
)
پس فقط (f(0 میتونه صفر باشه ....
راحت می‌شه دید که f جواب اگر و فقط اگر f- جواب باشه پس فرض می‌کنیم که
----------------------------------------------------------------------------------------------
فرض هم می‌کنیم که b صفر نیست !
همچنین داریم
پس f یه چیزی 1 می‌شه !
---------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------
با استفاده از یک و منفی یک روابط زیر راحت بدست میان :
----------------------------------------------------------------------
از طرف دیگه :
(آخرش هم از این استفاده کردم که :
آخرین ویرایش توسط مدیر
پاسخ : تابعیه خیلی ساده نیست...
mahan bebinam ino az kodum site neveshti?
akhe rastiatesh copye oon chizi neveshti ke moalememun nevesht yek zare ham fargh nadare rahe halet midunam oon az yejayi copy karde mishe begi jash kojast?
oon yeki tasavish ham ke goftam ine ke hamin moadele ro dar nazar begir badesh too samte chape tasavi bejaye F(x).F(y) ebarate F(xy) ro bezar yekam sakhtar mishe
mahan bebinam ino az kodum site neveshti?
akhe rastiatesh copye oon chizi neveshti ke moalememun nevesht yek zare ham fargh nadare rahe halet midunam oon az yejayi copy karde mishe begi jash kojast?
oon yeki tasavish ham ke goftam ine ke hamin moadele ro dar nazar begir badesh too samte chape tasavi bejaye F(x).F(y) ebarate F(xy) ro bezar yekam sakhtar mishe
آخرین ویرایش توسط مدیر
پاسخ : تابعیه خیلی ساده نیست...
AoPS Forum - f(x+f(x)f(y))=f(x)+xf(y) • Art of Problem Solvingببینیم کی کپ می‌زنه :196:...
AoPS Forum - f(x+f(x)f(y))=f(x)+xf(y) • Art of Problem Solvingببینیم کی کپ می‌زنه :196:...
پاسخ : تابعیه خیلی ساده نیست...
خوب همونطور که میتونید ببینید پست من رو جواب دادن ، اینجا یه فایل هست که توش حل مساله موجوده .
الان که دارم نگاش می‌کنم میبینم که فقط اول و آخر راه حلش شبیه من ،یه جاهائی هم که کلا فرق می‌کنه مثلا
)
رو یه جوری دیگه بدست اورده .
AoPS Forum - Nice functional equations • Art of Problem Solving
نظرتون چیه ؟
خوب همونطور که میتونید ببینید پست من رو جواب دادن ، اینجا یه فایل هست که توش حل مساله موجوده .
الان که دارم نگاش می‌کنم میبینم که فقط اول و آخر راه حلش شبیه من ،یه جاهائی هم که کلا فرق می‌کنه مثلا
AoPS Forum - Nice functional equations • Art of Problem Solving
نظرتون چیه ؟