تابع

mohy1376 · 1392/12/29

پاسخ : تابع

swing گفت

مگه نگفتی که این جواب غلطه؟
اثباتت رو بگو.

swing · 1392/12/29

پاسخ : تابع

این رو دوستان ثابت کردند که

$f(1-x)+f(1+x)=0$

. همچنین داریم:

$f(0)=-1,f(1)=0,f(2)=1$

و به طور خاص داریم:

$f(-1)=-f(3)$

و

$f(-2)=-f(4)$

و

$f(-3)=-f(5)$

.
حالا داریم:

$P(-1,-1)\Rightarrow f(3)-f(-2)=f(-1)^2$

$P(2,2)\Rightarrow f(5)-f(4)=f(2)^2$

$P(-1,-2)\Rightarrow f(3)-f(-3)=f(-1)f(-2)$

حالا با جایگذاری مقادیر به دست آمده و استفاده از این که

$f(3)=-f(-1)\neq 0$

به دست میاد:

$(f(3)-2)(f(3)+1)=0$

حالا کافیه که حالت

$f(3)=-1$

رو رد کنیم.
برای این، با استفاده از همون معادلات بالا به دست میاریم:

$f(-1)=1,f(-2)=0,f(-3)=-1,f(4)=0,f(5)=1$

$P(x,-2)\Rightarrow f(-2x+1)=f(x-2)\Rightarrow \forall x \in \mathbb Z:f(x)=f(-2x-3)$

$P(x,4)\Rightarrow f(4x+1)=f(x+4)\Rightarrow \forall x \in \mathbb Z:f(x)=f(4x-15)$

$f(x)=f(-2x-3)=f(-2(-2x-3)-3)\Rightarrow f(x)=f(4x+3)$

$\Rightarrow f(4x+3)=f(4x-15)$

پس f تابعی متناوب است.
فرض کنید

$T=18$

. داریم:

$P(x+T,y)\Rightarrow f((x+T)y+1)=f(x+T+y)+f(x+T)f(y)$

$\Rightarrow f((x+T)y+1)=f(xy+1)$

$z=xy+1\Rightarrow f(z+Ty)=f(z)$

پس تابع f تابعی ثابت است. که تناقض است.
پس

$f(3)=2$

.
اکنون ثابت می کنیم به ازای هر عدد صحیح n،

$f(n)=n-1$

.
داریم:

$P(-1,x)\Rightarrow f(-x+1)-f(x-1)=-2f(x)$

پس:

$f(x+1)+f(x-1)=2f(x)$

که این نیز به وضوح نتیجه می دهد:

$f(n)=n-1$

AHZolfaghari · 1392/12/29

پاسخ : تابع

خب الوعده وفا
گفتم که تابع g رو تعریف میکنیم بطوریکه

$g(x) = f(x)+1$

.
حالا باید اثبات کنیم که تابع g تابع همانی است.
حالا اول میشه بدست آورد که تابع g در نقاط 0و1و2 برابر 0و1و2 است.
حالا بطور سرفصلی میگم که چیکار کردم :
1)

$g(x) + g(2-x) = 2$

2)

$g(x+2) = 2+ g(x)$

3)

$g(x) = - g(-x)$

4)

$g(x+y) = g(x) + g(y)$

5)

$g(xy) = g(x)g(y)$

از میان اینها فقط مورد دوم یه ذره ( خیلی ببخشیدا در اصطلاح المپیادی ها ) خرکاری داره !!! بقیش میشه بدست آورد با یه ذره بازی با روابط

swing · 1392/12/29

پاسخ : تابع

AHZolfaghari گفت

خب الوعده وفا
گفتم که تابع g رو تعریف میکنیم بطوریکه

$g(x) = f(x)+1$

.
حالا باید اثبات کنیم که تابع g تابع همانی است.
حالا اول میشه بدست آورد که تابع g در نقاط 0و1و2 برابر 0و1و2 است.
حالا بطور سرفصلی میگم که چیکار کردم :
1)

$g(x) + g(2-x) = 2$

2)

$g(x+2) = 2+ g(x)$

3)

$g(x) = - g(-x)$

4)

$g(x+y) = g(x) + g(y)$

5)

$g(xy) = g(x)g(y)$

از میان اینها فقط مورد دوم یه ذره ( خیلی ببخشیدا در اصطلاح المپیادی ها ) خرکاری داره !!! بقیش میشه بدست آورد با یه ذره بازی با روابط

اگر می نوشتی معلوم میشد کجا جوب زدی.:3:

AHZolfaghari · 1392/12/29

پاسخ : تابع

swing گفت

بعید میدونم جوب زده باشم . آخه طولانی هرکدوم فکر نکنم بتونم واسه قبل سال تحویل بذارمش حالا ان شاءالله سال 93

swing · 1392/12/29

پاسخ : تابع

AHZolfaghari گفت

اشکال نداره حالا فقط این مورد 2 رو هم بزاری کافیه.:3:

AHZolfaghari · 1392/12/29

پاسخ : تابع

swing گفت

ببخشید دیر شد . چون یه جاییش یه اشتباه بدی کرده بودم . دوباره فکر کردم درست شد.
اینم لینکش فقط ببخشید دو تا تیکه شد:
http://uploadtak.ir/images/k2w2cgyy53bcjz10dbbt.png
http://uploadtak.ir/images/x00r78k5veycv1jdq7.png

swing · 1392/12/29

پاسخ : تابع

اوه. ببخشید من اشتباه کردم.

AHZolfaghari · 1392/12/29

پاسخ : تابع

swing گفت

ببخشید چرا ؟؟؟؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

swing گفت

با توجه به رابطه اول داریم :

$g(x) + g(2-x) = 2$

$g(1-x)+g(1+x)=2$

اون دو تا پرانتزهای دو به دو قرینه میشن.

تابع

mohy1376

Well-Known Member

swing

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

swing

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

swing

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

swing

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member