۱.یک هفت ضلعی محور تقارن دارد. ثابت کنید این محور از یکی از راس های هفت ضلعی می گذرد.
۲.هر مریخی در نیمه شب متولد میشود. و درست ۱۰۰ شبانه روز زندگی می کند. می دانیم در طول تاریخ تمدن مریخ روی هم به تعداد فردی مریخی به دنیا آمده است. ثابت کنید حداقل ۱۰۰ روز وجود دارد که ساکنان مریخ در هر یک از این روز ها عددی فرد بوده است(المپیاد ریاضی لنینگراد ۱۹۸۶)
۳.صفحه ی شطرنج ۶*۶ را با ۱۸ دومینو پوشانده ایم. ثابت کنید می توان این صفحه ی شطرنج را با یک خط افقی راست یا عمودی به دو قسمت تقسیم کرد به طوری که به هیچ یک از دومینوها لطمه ای وارد نشود(المپیاد ریاضی شوروی ۱۹۶۳)
۳.n نقطه روی محیط دایره ای قرار دارند و می دانیم به ازای هر دو نقطه ی دلخواه یکی از دو کمانی که آن ها را به هم وصل می کند از ۱۲۰ درجه کمتر است. ثابت کنید کمانی ۱۲۰ درجه از دایره وجود دارد که همه ی n نقطه را در بر دارد(المپیاد ریاضی لنینگراد۱۹۶۱)
۲.هر مریخی در نیمه شب متولد میشود. و درست ۱۰۰ شبانه روز زندگی می کند. می دانیم در طول تاریخ تمدن مریخ روی هم به تعداد فردی مریخی به دنیا آمده است. ثابت کنید حداقل ۱۰۰ روز وجود دارد که ساکنان مریخ در هر یک از این روز ها عددی فرد بوده است(المپیاد ریاضی لنینگراد ۱۹۸۶)
۳.صفحه ی شطرنج ۶*۶ را با ۱۸ دومینو پوشانده ایم. ثابت کنید می توان این صفحه ی شطرنج را با یک خط افقی راست یا عمودی به دو قسمت تقسیم کرد به طوری که به هیچ یک از دومینوها لطمه ای وارد نشود(المپیاد ریاضی شوروی ۱۹۶۳)
۳.n نقطه روی محیط دایره ای قرار دارند و می دانیم به ازای هر دو نقطه ی دلخواه یکی از دو کمانی که آن ها را به هم وصل می کند از ۱۲۰ درجه کمتر است. ثابت کنید کمانی ۱۲۰ درجه از دایره وجود دارد که همه ی n نقطه را در بر دارد(المپیاد ریاضی لنینگراد۱۹۶۱)