حداقل سه عامل اول متمایز

[M_Sharifi]

یه سوال جالب:
فرض کنید

عددی اول است، به طوری که

بر

بخش پذیر است. ثابت کنید به ازای هر عدد طبیعی

، عدد

حداقل سه عامل اول متمایز دارد.

 

[zek]

بر چی بخشپذیر است؟

 

[M_Sharifi]

بر چی بخشپذیر است؟

اگه ار مرورگر Internet Explorer استفاده می کنی، ممکنه عکس ها دیده نشن. بهتره از Firefox استفاده کنی.

 

[mohammad_72]

اگه p عدد فرما نباشه اونوقت p-1 حداقل 2 عامل اول متمايز داره كه يكيش برابره با 2 و چون (p-1, p!+2[SUP]n[/SUP]) يه تواني از 2 ميشه دو حالت داريم. حالت اول اينكه p! + 2n عامل اول ديگه اي بجز 2 داره كه مسأله حله. حالت دوم p! = 2[SUP]m[/SUP]-2[SUP]n[/SUP] يعني 2[SUP]m-n[/SUP]-1 عدديه كه بر p بخشپذيره ولي بر p[SUP]2[/SUP] بخشپذير نيست. پس مرتبه‌ي 2 به پيمانه‌ي p هم همين خاصيت رو داره ولي p-1 مضرب d هست. يعني d = (p-1)/t پس داريم : 2[SUP]p-1[/SUP]-1 = (2[SUP]d[/SUP]-1)((2[SUP]d[/SUP])[SUP]t-1[/SUP] + (2[SUP]d[/SUP])[SUP]t-2[/SUP] + ... + 1). چون 2[SUP]d[/SUP]-1 دقيقا يه عامل p داره جمله‌ي دوم بايد عامل p داشته باشه كه نتيجه ميده t بر p بخشپذيره كه نتيجه ميده يا t=0 (كه چون t تو مخرج اومده ممكن نيست) يا t>=p كه نتيجه ميده d < 1 پس اين حالت امكان نداره.
حالتي كه p عدد فرما باشه تو شرط مساله صدق نمي‌كنه چون اولا 2[SUP]p-1[/SUP]-1 برابره با ضرب اعداد فرما از عدد صفرم ( يعني همون 3 ) تا عدد فرما‌ي قبل از 2[SUP]p-1[/SUP]+1 و چون هر دو عدد فرما نسبت به هم اولن پس تو اين حاصلضرب فقط يه جمله عامل p داره كه اون برابره با خود p پس 2[SUP]p-1[/SUP]-1 دقيقا يه عامل p داره و نميتونه بر p[SUP]2[/SUP] بخشپذير باشه.

 

[M_Sharifi]

مرسی، کاملا درسته.