حداقل یک ریشه حقیقی

rezashiri · 1388/12/24

ثابت کنید برای هر مقدار حقیقی a,b,c معادله :

[center:56a3ebb00a]

$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$

[/center:56a3ebb00a]
دست کم یک جواب دارد.

Olympiad · 1388/12/24

منظورتون دقيقا چيه ؟ خوب x=a=b=c !!

rezashiri · 1388/12/24

تو صورت سوال چیزی ننوشته ولی فکر کنم

$x\neq a,b,c$

چون این سوال برای انگلستان و دیگه انقدر راحت حل نمی شه!؟!؟

rezashiri · 1388/12/25

همچین سخت نیستا

با

$\120dpi \inline \Delta$

راحت حل می شه.

Behrooz · 1388/12/25

یک راه حل کوتاهتر
اگر

که مساله حله
ولی اگر

نباشد پس تابع

حداقل 2 ریشه دارد پس بنا به قضیه رول

حداقل یک ریشه دارد.

rezashiri · 1388/12/25

اینم راه حل با

$\120dpi \inline \Delta$

:

پس از ضرب وساده کردن به

$3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0$

می رسیم پس

$\Delta =4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)\Rightarrow \Delta =(a+b+c)^2-3(ab+ac+bc)$

$\Rightarrow \Delta =a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$

$\Rightarrow \Delta =\frac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]$

$\Rightarrow \Delta =\frac{1}{2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]$

$\Rightarrow\Delta \geq 0$

پس این معادله به ازای هر

$a,b,c$

حداقل یک جواب دارد.

راستی این قضیه رول چیه؟!؟!؟

Behrooz · 1388/12/25

قضیه رول:اگر تابع

در بازه

پیوسته و در بازه

مشتق پذیر باشد و

انگاه نقطه ای مانند

وجود دارد که

.

rezashiri · 1388/12/25

من که هیچی نفهمیدم چون از تابع پیوسته و مشتق و... چیزی نمی دونم!

ولی بازم ممنون

.

Behrooz · 1388/12/26

برای اطلاع بیشتر در مورد پیوستگی و مشتق و رول و ... میتونید به کتاب های دیفرانسیل و انتگرال (مثل لیتهلد و توماس و...)مراجعه کنید.

حداقل یک ریشه حقیقی

rezashiri

Well-Known Member

Olympiad

New Member

rezashiri

Well-Known Member

rezashiri

Well-Known Member

Behrooz

New Member

rezashiri

Well-Known Member

Behrooz

New Member

rezashiri

Well-Known Member

Behrooz

New Member