دستگاه متقارن

rezashiri · 1389/2/27

دستگاه زیر را در مجموعه اعداد حقیقی حل کنید.

$\left\{\begin{matrix} (x-1)(y^2+6)=y(x^2+1)\\ (y-1)(x^2+6)=x(y^2+1) \end{matrix}\right.$

farid_frd · 1389/2/27

فکر کنم جواب نداشته باشه اگه درسته بگین که منم راهم رو بذارم

rezashiri · 1389/2/27

farid_frd گفت

جواب داره مثلا (2,2).

farid_frd · 1389/2/28

ببخشید اصلا حواسم نبود

rezashiri · 1389/2/29

آقای شریفی لطفا حل کنید.

M_Sharifi · 1389/2/29

با جمع کردن این دو معادله به معادله ی

[center:9a2c81f17c]

$\left(x-\frac52\right)^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac12$

و با کم کردن و تجزیه ی معادله ی به دست آمده به

$(x-y)(x+y+2xy+7)=0$

[/center:9a2c81f17c]
می رسیم. در حالت

$x-y=0$

به راحتی میشه جواب های

$(2,2),(3,3)$

رو به دست آورد. در حالت دیگه،

[center:9a2c81f17c]

$x+y-2xy+7=0\Rightarrow \left(x-\frac12\right)\left(y-\frac12\right)=\frac{15}4$

[/center:9a2c81f17c]

حالا فرض می کنیم

$a=x-\frac52,~b=y-\frac52$

. در این صورت از معادله ی اول و آخر میشه نتیجه گرفت که

[center:9a2c81f17c]

$a^2+b^2=\frac12,\quad 2ab+4(a+b)=-\frac12$

بنابراین

$(a+b)^2+4(a+b)=0\Rightarrow a+b=0,-4$

حالا بقیه اش راحته و به دو تا جواب دیگه یعنی

$(2,3),(3,2)$

به دست میان.

[/center:9a2c81f17c]