دو نابرابری

M_Sharifi · 1389/2/8

یه سوال.
ثابت کنید نابرابری های زیر برای هر سه عدد حقیقی و مثبت

$a,b,c$

برقرارند:

[center:eeffd11851]

$1)~a+b+c+\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ca}\geq3\root3\of{abc}\\ ~~~~~2)~\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ca}\geq3\root3\of{\frac1{abc}}$

[/center:eeffd11851]

ali_irysc · 1390/12/13

پاسخ : دو نابرابری

دو تاشون با نابرابری حسابی هندسی حل میشن

threehandsnal · 1390/12/13

پاسخ : دو نابرابری

روی چی حسابی هندسی زدین؟!!! از بین

$\frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ca}$

حداقل یکیشون منفیه! روی اعداد منفی که نمیشه AM-GM زد!!

hkh74 · 1390/12/13

پاسخ : دو نابرابری

راه حل اولی با حسابی-هندسی (البته از کوشی هم استفاده ی کوچکی شده):

$\sum_{cyc}\left (b+\frac{a-b}{1+ab} \right )=\sum_{cyc}\left (\frac{a+ab^2}{1+ab} \right )\geq 3\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\frac{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}{(1+ab)(1+bc)(1+ca)}}\geq 3\sqrt[3]{abc}$

که در نامساوی آخر سه بار از کوشی استفاده شده.

راه دومی:

$\sum_{cyc}\left (\frac{1}{a}+\frac{a-b}{1+ab} \right )=\sum_{cyc}\left (\frac{1+a^2}{a(1+ab)} \right )\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\sqrt[3]{\frac{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}{(1+ab)(1+bc)(1+ca)}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

این هم مثل قبلیست.

دو نابرابری

M_Sharifi

راهبر ریاضی

ali_irysc

New Member

threehandsnal

New Member

hkh74

New Member