رياضيات كاربردى در فيزيك
مسعود ناصرى
برخلاف رياضيات محض، ریاضیات كاربردى بحثى دقیق (و شايد بدون ایراد) نیست و ميزان دقت اصول و تعاریف به کار گرفته شده در ساختار هر شاخه متناسب همان كاربرد است. بعنوان مثال، تا آنجائی که به واقعیت جهان فیزیکی مربوط می شود اصلا چیزی به عنوان خط راست، منحنی صاف و پیوسته (analytic)، دایره، بیضی، مخروط، کره، مکعب و .. وجود ندارد و كاملا روشن است كه شكل ها و توپولوژی موجودات بسیار پیچیده تر از آن هستند که بتوان آنها را با اشکال هندسی ساده ای مانند هندسه اقليدسى و حتى هندسه ريمانى و يا حساب و آناليز (calculus/anslysis) توصيف نمود. هیچ ستاره و کهکشانی کروی نیست، هیچ رودخانه ای خط راست یا منحنی صاف نیست، هیچ کوهی مخروط نیست، هیچ ابری در آسمان و هیچ درخت و گل و گیاهی شکل هندسی خاصى ندارد. با این حساب، استفاده از تعاریف و اشکال ساده هندسه اقلیدسی/ريمانى و حساب هرچند که اطلاعات بسیار ارزشمندی در شناخت جهان به دستمان می دهد ولی بايد انتظار داشت كه توصیف ارائه شده از جهان فيزيكى بر پايه اين شاخه هاى رياضى تقریبی باشد.
از طرفى، تا آنجائى كه به خود رياضيات محض نيز مربوط مى شود (كه دقيقتربن و زيباترين دانش بشر و تنها ابزار شناخت واقعى ما از جهان است)، به كارگيرى مفاهيم و تعاريف بنيادى آن در علوم كاربردى با واقعیت فیزیکی ملموس ما همخوانى چندانى ندارد. مثلا، طبق تعریف، "نقطه" نه بعد دارد و نه حجم و اصلا نمی توان آنرا يك "چیز" به حساب آورد و يا در اين جهان "چیزی" كه بتوان به آن "نقطه" عنوان داد وجود ندارد. با درکنار هم قرار گرفتن این نقطه های بدون بعد "خط يك بعدى" به دست مى آید كه تصور وجود فيزيكى براى آن راحت نيست. همچنين، طبق تعریف، تعداد "نقطه"هایی که محیط دایره مثلا یک سانتی متر قطر را می سازند مساویست با تعداد "نقطه" های دایره ای که قطر آن چند میلیارد کیلومتر است. به عبارت ديگر، تعداد نقطه های تمام دایره هایی که می توان تصور کرد باهم مساوی هستند. بايد پرسيد كه آيا در جهان فیزیکی چیزی به اسم دایره (و کره) وجود دارد؟ جواب منفى است و بنابراين عدد پی (3.14) را كه از دوران دبستان با آن آشنا شده ایم تنها يك مفهوم ابستراكت مانند نقطه و خط در رياضيات محض است و به كار گرفتن آن براى توصيف جهان فيزبكى ما را از واقعيت دور و محاسبات مان را همراه با تقريب مى كند. البته اين تقريب نه تنها ايرادى در کاربردهای مهندسی (و ديگر علوم كاربردى که تقریب در ذات آنهاست) ندارد بلكه ضرورى نيز مى باشد. (يادآورى كنيم كه مقدار عدد پى نامعین است و هنوز ارقام بعد از ممیز آن را بطور قطعی نمى شناسيم.)
اینها مواردی هستند که هرچند خللى در استحكام و زيبائى رياضيات محض ايجاد نمى كنند ولى دلالت بر نارسا و ناکامل بودن ریاضیات كاربردى در توصيف واقعيت جهان فيزيكى دارند. البته بايد اضافه كنيم كه علاوه بر تعاریف ناسازگار با واقعیت فیزیکی جهان، مشکلات اساسی خاصى هم بطور نهادينه در ساختار ریاضیات اصولى (axiomatic) وجود دارند. از آن جمله، وجود نقاط تكينه (مانند تقسیم عدد بر صفر) و یا دردسر ناهمخوانی (inconsistency) حاکم بر سیستم اصولی هیلبرت (Hilbert's axiomatic system) که اولین بار در اوايل قرن بيستم توسط کورت گودل (Kurt Gödel) در قالب قضیه گودل (Gödel theorem) عنوان شد و ناکامل بودن (incomplete) ساختار چنين ریاضیاتى را مطرح كرد. بعدا اين مشكل توسط تورینگ (Alan Turing) در قالب Turing halting problem و گریگوری چایتین (Gregory Chaitin) در قالب راندوم بودن در ریاضیات محض (Randomness in pure math) تایید گردید.
بطور خلاصه، از آنجائى كه شاخه های گوناگون علوم كاربردى هر یک به شکلی از ریاضیات كاربردى بهره می گیرند متقاعدمان مى کند که امروزه اين علوم تنها می توانند توصیفی تقریبی (و گاه شاید ناقص و حتی نادرست) از واقعیت جهان و پدیده های آن ارائه کنند و تا زمانی هم که مشکلات بالا وجود دارند نبايد مطمئن شد که بتوان "واقعیت جهان" را آنگونه كه هست تعريف كرد.
در میان رشته های مختلف علوم، بخصوص فیزیک به عنوان مهمترين ابزار شناخت جهان شديدا وابسته به اين ریاضیات است و در حقیقت فیزیک تئوری امروز چیزی نیست مگر ریاضیات کاربردی. بنابراین هر نقص و مشکلى كه در ریاضیات كاربردى باشد طبعا به فیزیک منتقل می گردد و نباید از آن انتظار داشت که ساختار و پدیده های جهان را بدون تقريب بيان كند. شاید به همین دليل هم هست که هر از گاهی یک تئوری جدید در فیزیک متولد می شود که تنها در محدوده خاصی عمل مى كند و در مدتی نه چندان طولانی هم با تئوری جدیدتر و نسبتا کاملتری جایگزین می گردد که آن نیز محدوده کاربرد خاص خود را دارد. نكته ديگر اينكه با وجودى كه اغلب این تئوری ها به خودی خود موفق هستند ولی باهم سر ناسازگاری دارند. مثلا تئوری نیوتن تحولی بنیادین در فیزیک و بخصوص مهندسى به وجود آورده است ولی ظهور تئوری نسبیت نشان داد كه تئوری نیوتن تنها در محدوده دنیای سرعت های کم کارآیی دارد. همچنين، همزمان با تئوری نسبیت، تئوری مهم دیگر قرن بیستم با عنوان تئوری کوانتوم پا به عرصه وجود گذاشت که آن نیز تنها در محدوده دنیای فوق العاده ریز اتمی و کوچکتر کارآیی دارد و در عین موفقیت عظیمش (بخصوص در کابردهائى مانند الکترونیک دیجیتالی، راديو، رادار، لیزر، اینترنت، کامپیوتر، .. ) در مواردی با تئوری نسبیت ناسازگاری دارد (مثلا طبق تئوری نسبیت هیج چیز یا اطلاعاتی نمی تواند سریعتر از نور جابجا شود در حالی که در تئوری کوانتوم اين محدودیت سرعت وجود ندارد). ملاحظه می شود که دو تئوری بسیار موفق در محدوده خاص خودشان، با هم ناسازگارند.
گفتنی است که در 100 و اندی سال که از ظهور این دو تئوری می گذرد هنوز هیچ تئوری جدیدی که در حد این دو تئوری دگرگونساز باشد پیدا نشده است و نظر به اینکه تعداد فیزیکدانان و محققین در قرن گذشته نسبت به قرن 19 هزاران برابر افزایش داشته است، این ناتوانی در یافتن تئوری جامعتری از نسبیت و کوانتوم ایرادى است که فیزیک باید جوابگو باشد. البته، دهه هشتاد ميلادى شاهد ظهور "تئوری ریسمان" (String Theory) شد که نوید دستیابی به تئوری نهایی اى که فیزیک سرسختانه به دنبال آنست را می داد لیکن امروز فيزيكدان ها چندان در این خوش بینی اشتراك نظر ندارند و حتی عده اى از متخصصین تئوری ریسمان بر علیه آن مقاله و كتاب می نویسند و از جمله آنها Peter Woit در کتاب Not Even Wrong (که يكى از سرشناسان فيزيك نظرى به نام Roger Penrose در تایید اين كتاب مطلب نوشته است) اعلام می دارد كه تئوری ریسمان اصلا ارزش مطرح شدن به عنوان يك تئوری فیزیک را ندارد چه به اينكه بخواهیم درستى آنرا مورد قضاوت قرار دهیم و مثلا نتیجه بگیریم که نادرست است.
شايد اگر بنا بر يافتن تئوری جدیدی که مکمل نسبیت و کوانتوم هست باشد كه بتواند واقعیت جهان را بدون تقریب توصیف کند لازم است كه تجدید نظر اساسی در ریاضیات کاربردی در فيزيك داشته باشيم و مثلا هرچند حساب (claculus) ابزاری مفید برای کاربردهای مهندسی است ولى به نظر مى آيد كه به تنهائى به درد فیزیک نمی خورد و باید با ابزار ریاضی جدیدی تکمیل گردد. خوشبختانه تئوری رياضى آشوب (chaos theory) كانديداى مناسبى در اين مرحله مى باشد. از مهمترين توانائى هاى اين تئورى امكان مطالعه فرآيند هاى غيرخطى است كه فيزيك تا امروز سعى در ناديده گرفتن آنها داشته است (و در صورت اجبار با فرآيند خطى سازى و لذا بطور تقريبى به مطالعه آنها پرداخته است). همچنين، تئورى آشوب می تواند با دیدگاه فراکتالی خود توصیف دقیقتری از ساختار و شکل فضازمان و پدیده های آن آنگونه كه در طبيعت ساهد آن هستيم ارائه كند.
درخاتمه، چارچوب كار ما در آکادمی ناصری بر روی تئورى آشوب و به كارگيرى آن در فیزیک نظری و بیولوژی تمرکز دارد.
مسعود ناصرى
برخلاف رياضيات محض، ریاضیات كاربردى بحثى دقیق (و شايد بدون ایراد) نیست و ميزان دقت اصول و تعاریف به کار گرفته شده در ساختار هر شاخه متناسب همان كاربرد است. بعنوان مثال، تا آنجائی که به واقعیت جهان فیزیکی مربوط می شود اصلا چیزی به عنوان خط راست، منحنی صاف و پیوسته (analytic)، دایره، بیضی، مخروط، کره، مکعب و .. وجود ندارد و كاملا روشن است كه شكل ها و توپولوژی موجودات بسیار پیچیده تر از آن هستند که بتوان آنها را با اشکال هندسی ساده ای مانند هندسه اقليدسى و حتى هندسه ريمانى و يا حساب و آناليز (calculus/anslysis) توصيف نمود. هیچ ستاره و کهکشانی کروی نیست، هیچ رودخانه ای خط راست یا منحنی صاف نیست، هیچ کوهی مخروط نیست، هیچ ابری در آسمان و هیچ درخت و گل و گیاهی شکل هندسی خاصى ندارد. با این حساب، استفاده از تعاریف و اشکال ساده هندسه اقلیدسی/ريمانى و حساب هرچند که اطلاعات بسیار ارزشمندی در شناخت جهان به دستمان می دهد ولی بايد انتظار داشت كه توصیف ارائه شده از جهان فيزيكى بر پايه اين شاخه هاى رياضى تقریبی باشد.
از طرفى، تا آنجائى كه به خود رياضيات محض نيز مربوط مى شود (كه دقيقتربن و زيباترين دانش بشر و تنها ابزار شناخت واقعى ما از جهان است)، به كارگيرى مفاهيم و تعاريف بنيادى آن در علوم كاربردى با واقعیت فیزیکی ملموس ما همخوانى چندانى ندارد. مثلا، طبق تعریف، "نقطه" نه بعد دارد و نه حجم و اصلا نمی توان آنرا يك "چیز" به حساب آورد و يا در اين جهان "چیزی" كه بتوان به آن "نقطه" عنوان داد وجود ندارد. با درکنار هم قرار گرفتن این نقطه های بدون بعد "خط يك بعدى" به دست مى آید كه تصور وجود فيزيكى براى آن راحت نيست. همچنين، طبق تعریف، تعداد "نقطه"هایی که محیط دایره مثلا یک سانتی متر قطر را می سازند مساویست با تعداد "نقطه" های دایره ای که قطر آن چند میلیارد کیلومتر است. به عبارت ديگر، تعداد نقطه های تمام دایره هایی که می توان تصور کرد باهم مساوی هستند. بايد پرسيد كه آيا در جهان فیزیکی چیزی به اسم دایره (و کره) وجود دارد؟ جواب منفى است و بنابراين عدد پی (3.14) را كه از دوران دبستان با آن آشنا شده ایم تنها يك مفهوم ابستراكت مانند نقطه و خط در رياضيات محض است و به كار گرفتن آن براى توصيف جهان فيزبكى ما را از واقعيت دور و محاسبات مان را همراه با تقريب مى كند. البته اين تقريب نه تنها ايرادى در کاربردهای مهندسی (و ديگر علوم كاربردى که تقریب در ذات آنهاست) ندارد بلكه ضرورى نيز مى باشد. (يادآورى كنيم كه مقدار عدد پى نامعین است و هنوز ارقام بعد از ممیز آن را بطور قطعی نمى شناسيم.)
اینها مواردی هستند که هرچند خللى در استحكام و زيبائى رياضيات محض ايجاد نمى كنند ولى دلالت بر نارسا و ناکامل بودن ریاضیات كاربردى در توصيف واقعيت جهان فيزيكى دارند. البته بايد اضافه كنيم كه علاوه بر تعاریف ناسازگار با واقعیت فیزیکی جهان، مشکلات اساسی خاصى هم بطور نهادينه در ساختار ریاضیات اصولى (axiomatic) وجود دارند. از آن جمله، وجود نقاط تكينه (مانند تقسیم عدد بر صفر) و یا دردسر ناهمخوانی (inconsistency) حاکم بر سیستم اصولی هیلبرت (Hilbert's axiomatic system) که اولین بار در اوايل قرن بيستم توسط کورت گودل (Kurt Gödel) در قالب قضیه گودل (Gödel theorem) عنوان شد و ناکامل بودن (incomplete) ساختار چنين ریاضیاتى را مطرح كرد. بعدا اين مشكل توسط تورینگ (Alan Turing) در قالب Turing halting problem و گریگوری چایتین (Gregory Chaitin) در قالب راندوم بودن در ریاضیات محض (Randomness in pure math) تایید گردید.
بطور خلاصه، از آنجائى كه شاخه های گوناگون علوم كاربردى هر یک به شکلی از ریاضیات كاربردى بهره می گیرند متقاعدمان مى کند که امروزه اين علوم تنها می توانند توصیفی تقریبی (و گاه شاید ناقص و حتی نادرست) از واقعیت جهان و پدیده های آن ارائه کنند و تا زمانی هم که مشکلات بالا وجود دارند نبايد مطمئن شد که بتوان "واقعیت جهان" را آنگونه كه هست تعريف كرد.
در میان رشته های مختلف علوم، بخصوص فیزیک به عنوان مهمترين ابزار شناخت جهان شديدا وابسته به اين ریاضیات است و در حقیقت فیزیک تئوری امروز چیزی نیست مگر ریاضیات کاربردی. بنابراین هر نقص و مشکلى كه در ریاضیات كاربردى باشد طبعا به فیزیک منتقل می گردد و نباید از آن انتظار داشت که ساختار و پدیده های جهان را بدون تقريب بيان كند. شاید به همین دليل هم هست که هر از گاهی یک تئوری جدید در فیزیک متولد می شود که تنها در محدوده خاصی عمل مى كند و در مدتی نه چندان طولانی هم با تئوری جدیدتر و نسبتا کاملتری جایگزین می گردد که آن نیز محدوده کاربرد خاص خود را دارد. نكته ديگر اينكه با وجودى كه اغلب این تئوری ها به خودی خود موفق هستند ولی باهم سر ناسازگاری دارند. مثلا تئوری نیوتن تحولی بنیادین در فیزیک و بخصوص مهندسى به وجود آورده است ولی ظهور تئوری نسبیت نشان داد كه تئوری نیوتن تنها در محدوده دنیای سرعت های کم کارآیی دارد. همچنين، همزمان با تئوری نسبیت، تئوری مهم دیگر قرن بیستم با عنوان تئوری کوانتوم پا به عرصه وجود گذاشت که آن نیز تنها در محدوده دنیای فوق العاده ریز اتمی و کوچکتر کارآیی دارد و در عین موفقیت عظیمش (بخصوص در کابردهائى مانند الکترونیک دیجیتالی، راديو، رادار، لیزر، اینترنت، کامپیوتر، .. ) در مواردی با تئوری نسبیت ناسازگاری دارد (مثلا طبق تئوری نسبیت هیج چیز یا اطلاعاتی نمی تواند سریعتر از نور جابجا شود در حالی که در تئوری کوانتوم اين محدودیت سرعت وجود ندارد). ملاحظه می شود که دو تئوری بسیار موفق در محدوده خاص خودشان، با هم ناسازگارند.
گفتنی است که در 100 و اندی سال که از ظهور این دو تئوری می گذرد هنوز هیچ تئوری جدیدی که در حد این دو تئوری دگرگونساز باشد پیدا نشده است و نظر به اینکه تعداد فیزیکدانان و محققین در قرن گذشته نسبت به قرن 19 هزاران برابر افزایش داشته است، این ناتوانی در یافتن تئوری جامعتری از نسبیت و کوانتوم ایرادى است که فیزیک باید جوابگو باشد. البته، دهه هشتاد ميلادى شاهد ظهور "تئوری ریسمان" (String Theory) شد که نوید دستیابی به تئوری نهایی اى که فیزیک سرسختانه به دنبال آنست را می داد لیکن امروز فيزيكدان ها چندان در این خوش بینی اشتراك نظر ندارند و حتی عده اى از متخصصین تئوری ریسمان بر علیه آن مقاله و كتاب می نویسند و از جمله آنها Peter Woit در کتاب Not Even Wrong (که يكى از سرشناسان فيزيك نظرى به نام Roger Penrose در تایید اين كتاب مطلب نوشته است) اعلام می دارد كه تئوری ریسمان اصلا ارزش مطرح شدن به عنوان يك تئوری فیزیک را ندارد چه به اينكه بخواهیم درستى آنرا مورد قضاوت قرار دهیم و مثلا نتیجه بگیریم که نادرست است.
شايد اگر بنا بر يافتن تئوری جدیدی که مکمل نسبیت و کوانتوم هست باشد كه بتواند واقعیت جهان را بدون تقریب توصیف کند لازم است كه تجدید نظر اساسی در ریاضیات کاربردی در فيزيك داشته باشيم و مثلا هرچند حساب (claculus) ابزاری مفید برای کاربردهای مهندسی است ولى به نظر مى آيد كه به تنهائى به درد فیزیک نمی خورد و باید با ابزار ریاضی جدیدی تکمیل گردد. خوشبختانه تئوری رياضى آشوب (chaos theory) كانديداى مناسبى در اين مرحله مى باشد. از مهمترين توانائى هاى اين تئورى امكان مطالعه فرآيند هاى غيرخطى است كه فيزيك تا امروز سعى در ناديده گرفتن آنها داشته است (و در صورت اجبار با فرآيند خطى سازى و لذا بطور تقريبى به مطالعه آنها پرداخته است). همچنين، تئورى آشوب می تواند با دیدگاه فراکتالی خود توصیف دقیقتری از ساختار و شکل فضازمان و پدیده های آن آنگونه كه در طبيعت ساهد آن هستيم ارائه كند.
درخاتمه، چارچوب كار ما در آکادمی ناصری بر روی تئورى آشوب و به كارگيرى آن در فیزیک نظری و بیولوژی تمرکز دارد.