ریشه های معادله ...

rezashiri · 1388/12/28

$\alpha ,\beta$

ریشه های معادله

$x^2+ax+b=0$

و

$\beta ,\gamma$

ریشه های معادله

$x^2+cx+d=0$

می باشند ، با فرض این که

[center:22f0c25139]

$\frac{2}{\beta }=\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\gamma }$

ثابت کنید:

$2(a-c)^2=(b-d)(\frac{b}{d}-\frac{d}{b})$

[/center:22f0c25139]

راستی یه سوال:می شه یه معادله رو از دو طرف ساده کرد و اثبات کرد یا باید از یه طرف شروع بشه و به طرف دیگه رسید؟

ArseneLupin · 1389/5/7

قبل ازاثبات حکم از طریق فرض ها به این تساویها میرسیم:

$\alpha+\beta=-a$

و

$\beta+\gamma=-c$

و

$\beta \alpha=b$

و

$\beta \gamma=d$

و

$\frac{\alpha }{\gamma }=\frac{b}{d}$

و همچنین با استفاده از

$\frac{2}{\beta }=\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\gamma }$

خواهیم داشت:

$2=\frac{\beta }{\gamma }+\frac{\beta }{\alpha }$

و

$\gamma \alpha=\frac{b+d}{2}$

وحالا اثبات:

$2(a-c)^{2}=2(-c+a)^{2}=2(\beta+\gamma-\alpha-\beta)^{2}=2(\gamma-\alpha)^{2}=2\gamma^{2}+2\alpha^{2}-4\alpha\gamma=(\frac{\beta }{\alpha }+\frac{\beta }{\gamma })\gamma^{2}+(\frac{\beta }{\alpha })+\frac{\beta }{\gamma }\alpha^{2}-2 (b+d)=\frac{\gamma^{2}\beta }{\alpha }+\beta\gamma+\beta\alpha+\frac{\beta\alpha^{2} }{\gamma }-2(b+d)=\frac{d^{2}}{b}+b+d+\frac{b^{2}}{d}-2b-2d=(b-d)(\frac{b}{d}-\frac{d}{b})$

ریشه های معادله ...

rezashiri

Well-Known Member

ArseneLupin

New Member