سه تایی دو به دو نسبت به هم اول

[M_Sharifi]

یه سوال قشنگ:

فرض کنید

اعدادی حقیقی و دو به دو متمایزند، به طوری که اعداد

[center:272e9c690f]

صحیح شده اند. ثابت کنید

دو به دو نسبت به هم اولند.​

[/center:272e9c690f]

 

[Aref]

با سلام به استاد شریفی
میتونیم فرض کنیم k,l,m صحیحن؟ یا اصلا طبیعین؟

 

[M_Sharifi]

با سلام به استاد شریفی
میتونیم فرض کنیم k,l,m صحیحن؟ یا اصلا طبیعین؟

تو مسئله گفته شده که k,l,m صحیح اند.

 

[mohammad2004]

دوباره سلام به آقای شریفی و ممنون از سوالا
فرض کنید توان t بیشترین توانی باشه که بزرگترین مقسوم علیه مشترک صورت k ,l رو میشمره.
حالا میدونیم z+xyz بر p^t بخشپذیره و x +xyz هم همینطور.
پس x-z به p^t بخشپذیره که اونم به 1+zx بخشپذیره.
پس به همین ترتیب p^t مخرج کسر ها رو میشمره و عامل p حد اقل از یکی از کسرها میره .
حالا اگه همین استدلالو واسه تمام p ها تکرار کنیم نتیجه میشه دو کسر اول نسبت به هم اولن. واسه بقیه هم به همین ترتیب.

 

[mohammad_72]

با تشكر از آقاي شريفي براي سؤالهاي خوبشون

استدلال دقيقترش اينطوريه : فرض كنيد p مقسوم عليه k و l باشه. و a بزرگترين توان p باشه كه مقسوم عليه صورت هر دوتاست. اونوقت x و y و z بر p بخشپذير نيستن پس x-z بر p^a بخشپذيره پس پس 1+xz بر p^a بخشپذيره پس y-z و z-x بر p^a بخشپذيرن پس توان p در 1+xy و 1+yz بايد بيشتر از a باشه كه با نحوه‌ي انتخاب a در تناقضه! پس k و l عامل اول مشتركي ندارن

 

[M_Sharifi]

ضمن عذرخواهی از دوستان، صورت سوال اصلاح شد. در صورت جدید سوال، x,y,z اعدادی حقیقی و دو به دو متمایزند. منتظر پاسخ های شما هستم.

 

[mohammad_72]

اعدادي مثل θ[SUB]1[/SUB] و θ[SUB]2[/SUB] و θ[SUB]3[/SUB] وجود دارند كه x = tan θ[SUB]1[/SUB] و y = tan θ[SUB]2[/SUB] و z = tan θ[SUB]3[/SUB] پس داريم : k = cot(θ[SUB]1-[/SUB]θ[SUB]2[/SUB]) و l = cot(θ[SUB]2-[/SUB]θ[SUB]3[/SUB]) و
m = cot(θ[SUB]3-[/SUB]θ[SUB]1[/SUB]) اگه تعريف كنيم a = θ[SUB]1-[/SUB]θ[SUB]2[/SUB] و b = θ[SUB]2-[/SUB]θ[SUB]3[/SUB] و c = θ[SUB]3-[/SUB]θ[SUB]1[/SUB] .پس داريم a + b = -c پس :
cot(c) = -cot(a+b) = (1-cota.cotb))/cota+cotb يعني : m = (1-kl)/(k+l) پس اگه ب.م.م k و l برابره d باشه اونوقت 1 بر d بخشپذيره يعني d = 1 پس ب.م.م هر دو عدد از اون سه تا برابره با 1.

 

[M_Sharifi]

اعدادي مثل θ[SUB]1[/SUB] و θ[SUB]2[/SUB] و θ[SUB]3[/SUB] وجود دارند كه x = tan θ[SUB]1[/SUB] و y = tan θ[SUB]2[/SUB] و z = tan θ[SUB]3[/SUB] پس داريم : k = cot(θ[SUB]1-[/SUB]θ[SUB]2[/SUB]) و l = cot(θ[SUB]2-[/SUB]θ[SUB]3[/SUB]) و
m = cot(θ[SUB]3-[/SUB]θ[SUB]1[/SUB]) اگه تعريف كنيم a = θ[SUB]1-[/SUB]θ[SUB]2[/SUB] و b = θ[SUB]2-[/SUB]θ[SUB]3[/SUB] و c = θ[SUB]3-[/SUB]θ[SUB]1[/SUB] .پس داريم a + b = -c پس :
cot(c) = -cot(a+b) = (1-cota.cotb))/cota+cotb يعني : m = (1-kl)/(k+l) پس اگه ب.م.م k و l برابره d باشه اونوقت 1 بر d بخشپذيره يعني d = 1 پس ب.م.م هر دو عدد از اون سه تا برابره با 1.

ممنون. کاملا فنی و قشنگ حلش کردی.