سه رقم سمت راست ...

rezashiri · 1389/6/25

سه رقم سمت راست

$199^{2^{1389}}$

را بیابید.

rezashiri · 1389/6/29

راهنمایی : بعضی از توان های 199 از یه الگوی خاص پیروی می کنن...

mrbayat · 1389/6/29

کافیست که باقیمانده ی عدد را به 1000 بیابیم:

$199^{2^{1389}}=(200-1)^{2^{1389}}$

$(200-1)^{2^{1389}}=200^{2^{1389}}-\binom{{2^{1389}}}{1}200^{2^{1389}-1}+ \cdot \cdot \cdot -\binom{{2^{1389}}}{^{2^{1389}}-1}200+1$

$\Rightarrow (200-1)^{2^{1389}} \overset{1000}{\equiv}-\binom{{2^{1389}}}{^{2^{1389}}-1}200+1\overset{1000}{\equiv}1-2^{1389}\cdot 200$

$2^{1389}\cdot 200\overset{125}{\equiv}2^{1392}\cdot 25\overset{125}{\equiv}256^{174}\cdot 25\overset{125}{\equiv}(5+1)^{174}\cdot 25$

$\Rightarrow 2^{1389}\cdot 200\overset{125}{\equiv}(5+1)^{174}\cdot 25\overset{125}{\equiv}(5^{174}+\cdot \cdot \cdot +\binom{174}{172}5^{2}+\binom{174}{173}5+1)\cdot 25\overset{125}{\equiv}25$

$\Rightarrow 2^{1389}\cdot 200=125k+25\overset{8}{\equiv }0\Rightarrow 5k\overset{8}{\equiv }-25\Rightarrow k\overset{8}{\equiv }-5\overset{8}{\equiv }3$

$\Rightarrow k=8t+3\Rightarrow 2^{1389}\cdot 200=125(8t+3)+25=1000t+400\overset{1000}{\equiv }400$

$\Rightarrow 199^{2^{1389}}\overset{1000}{\equiv }1- 2^{1389}\cdot 200\overset{1000}{\equiv }1-400\overset{1000}{\equiv }601$

[center:0bda9883c2]

$\Rightarrow 199^{2^{1389}}\overset{1000}{\equiv }601$

[/center:0bda9883c2]

rezashiri · 1389/6/29

یه راه حل ساده:

داریم:

$199^{2^{1}}\equiv 601(mode1000) \\ 199^{2^{2}}\equiv 601*601\equiv 201(mod1000) \\ 199^{2^{3}}\equiv 201*201\equiv 401(mod1000) \\ 199^{2^{4}}\equiv 401*401\equiv 801(mod1000) \\ 199^{2^{5}}\equiv 801*801\equiv 601(mod1000) \\ ...$

از این جا به بعد همه چی تکرار می شه دلیلشم واضحه...

پس کافیه باقیمانده 1389 رو بر 4 بیابیم که داریم :

$1389\equiv 1(mod4)$

که نتیجه می دهد

$199^{2^{1389}}\equiv 601(mod 1000)$

AidinT · 1389/6/29

می شه 601

$199^{10} \equiv 1 (mod 1000)$

$2^{1389} \equiv 2 (mod 10)$

پس :

$199^{2^{1389}} = 199 ^{10k + 2} \equiv 1 * 199 ^{2} \equiv 601 (mod 1000)$

AidinT · 1389/6/29

مال من ساده تر نیست؟

سه رقم سمت راست ...

rezashiri

Well-Known Member

rezashiri

Well-Known Member

mrbayat

New Member

rezashiri

Well-Known Member

AidinT

New Member

AidinT

New Member