سوالاتی از دنباله .(ریاضی دبیرستان)

mrbayat · 1389/6/18

[center:5e74e7113b]

$1$

[/center:5e74e7113b]در یک تصاعد متناهی حسابی مجموع 5 جمله ی اول 55 و مجموع 5جمله ی آخر 215 و مجموع همه ی جملات 351 می باشد. دنباله را بیابید.

[center:5e74e7113b]--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$2$

[/center:5e74e7113b]اگر اعداد

$\frac{2}{x+y}, \frac{2}{y+z} , \frac{2}{z+x}$

سه جمله ی متوالی دنباله حسابی باشند.ثابت کنید

$x^{2},y^{2},z^{2}$

هم سه جمله ی متوالی دنباله ی حسابی هستند.

[center:5e74e7113b]--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[/center:5e74e7113b]

[center:5e74e7113b]

$3$

[/center:5e74e7113b]حاصل عبارت زیر را بیابید:
[center:5e74e7113b]

$\sum_{k=1}^{ \infty }(\frac{2^{k}+3^{k}}{6^{k}})$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[/center:5e74e7113b]

[center:5e74e7113b](درسته سوالات ساده است ولی چون توی ریاضیات دبیرستانه لطفا راهتون رو کامل بنویسید.)[/center:5e74e7113b]

rezashiri · 1389/6/18

[center:7f20e59d59]

$1$

[/center:7f20e59d59]
داریم:

$\left\{\begin{matrix} a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)& \\ a+(n-5)d+a+(n-4)d+a+(n-3)d+a+(n-2)d+a+(n-1)d& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 10a+5nd-5d=270\Rightarrow 2a_{1}+d(n-1)=54$

$\Rightarrow \frac{n}{2}(\underbrace{{2a+(n-1)d}})=351\Rightarrow n=13$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5a+10d=55 & \\ 5a+50d=215 & \end{matrix}\right.\Rightarrow d=4,a=3\Rightarrow 3,7,11,15,...,51$

سوال 2 رو هم تا چند دقیقه دیگه می نویسیم...

rezashiri · 1389/6/18

[center:a534f07244]

$2$

[/center:a534f07244]

داریم:

$\Rightarrow \frac{2}{x+y}-\frac{2}{x+z}=\frac{2}{x+z}-\frac{2}{y+z}\Rightarrow \frac{z-y}{(x+y)(x+z)}=\frac{y-x}{(x+z)(y+z)}$

با طرفین - وسطین داریم:

$y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}$

که همون حکم مسئله هست...

mrbayat · 1389/6/18

پس 3 چی؟؟؟؟

rezashiri · 1389/6/18

سوال 3 باید از حد استفاده بشه؟!؟

اگه حد هست که من بلد نیستم ....

mrbayat · 1389/6/19

راهنمایی سوال 3:از نکته ی زیر استفاده کنید:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
"حد مجموع"
مجموع

$n$

جمله ی اول یک دنباله هندسی برابر است با

فرض کنید جمله ی اول

$a_{1}$

و قدر نسبت

$q$

باشد)

$=\frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=a_{1}+a_{1}q+...+a_{1}q^{n-1}=a_{1}(1+q+...+q^{n-1})\cdot \frac{q-1}{q-1}$

$\Rightarrow S_{n}=\frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$

حالا اگر

$1\geq q\geq 0$

اگر

$n$

به سمت بی نهایت برود واضح است که

$q^{n}=q^{\infty }=0$

یا به بیان بهتر :

$1\geq q\geq 0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }q^{n}=0$

پس در فرمول مجموع اعداد دنباله هندسی اگر

$1\geq q\geq 0$

داریم:

$S_{\infty }=\frac{a_{1}(q^{\infty }-1)}{q-1}=\frac{-a_{1}}{q-1}=\frac{a_{1}}{1-q}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

با این توضیحات دیگه حل سوال 3 فکر نمی کنم کار سختی باشه.

AidinT · 1389/6/29

خوب با این اوصاف باید بشه 1.5

$\sum_{k=1}^{ \infty }(\frac{2^{k}+3^{k}}{6^{k}}) = \sum_{k=1}^{ \infty } (\frac{1}{3})^ k + (\frac{1}{2})^k = \frac {\frac{1}{3}}{1 - \frac {1}{3}} + \frac {\frac{1}{2}}{1 - \frac {1}{2}} = \frac {1}{2} + \frac {1}{1} = \frac{3}{2}$

chapar-arshad · 1390/9/23

پاسخ : سوالاتی از دنباله .(ریاضی دبیرستان)

پاسخ قسمت اول:

$t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}=55$

$t_{n}+t_{n-1}+t_{n-2}+t_{n-3}+t_{n-4}=215$

نكته:اگر

$t_{m},t_{n},t_{r},t_{s}$

چهار جمله ي يك دنباله ي عددي باشند، به طوري كه

$m+n=r+s$

آنگاه:

$t_{m}+t_{n}=t_{r}+t_{s}$

.
پس در دو عبارت بالا:

$t_{1}+t_{n}=t_{2}+t_{n-1}=t_{3}+t_{n-2}=...$

$\Rightarrow 5(t_{1}+t_{n})=215+55=270\Rightarrow t_{1}+t_{n}=54$

مجموع n جمله ي اول يك دنباله ي عددي:

$S_{n}=\frac{n[2a+(n-1)d]}{2}$

يا

$S_{n}=\frac{n(a+t_{n})}{2}$

پس:

$S_{n}=\frac{n(t_{1}+t_{n})}{2}\Rightarrow \frac{n\times 54}{2}=351\Rightarrow n=13$

$S_{13}=351\Rightarrow 351=\frac{13(2a+12d)}{2}\Rightarrow 13a+78d=351\Rightarrow a+6d=27$

$S_{5}=55\Rightarrow 55=\frac{5(2a+4d)}{2}\Rightarrow 5a+10d=55$

$\left\{\begin{matrix} a+6d=27 & & \\ 5a+10d=55 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a=3,d=4$

درنتيجه دنباله:

$3,7,11,15,19,...$

پاسخ قسمت دوم:

نكته:اگرa,b,c تشكيل تصاعد حسابي بدهند، c-b=b-a پس در نتيجه:

$\frac{2}{z+x}-\frac{2}{y+z}=\frac{2}{y+z}-\frac{2}{x+y}\Rightarrow \frac{2(y-x)}{(y+z)(z+x)}=\frac{2(x-z)}{(y+z)(x+y)}$

$\Rightarrow 2(y^{2}-x^{2})(y+z)=2(x^{2}-z^{2})(y+z)\Rightarrow 2x^{2}=y^{2}+z^{2}$

نكته:اگرa,b,cتشكيل تصاعد حسابي بدهند، 2b=a+c وبرعكس.پس داريم:

$y^{2},x^{2},z^{2}$

تشكيل تصاعد حسابي مي دهند.

سوالاتی از دنباله .(ریاضی دبیرستان)

mrbayat

New Member

rezashiri

Well-Known Member

rezashiri

Well-Known Member

mrbayat

New Member

rezashiri

Well-Known Member

mrbayat

New Member

AidinT

New Member

chapar-arshad

New Member