سوالات جبر اسپانیا

amirhossein1376 · 1392/10/16

5.2009

$a,b,c\in \mathbb{R}^{+} : abc=1 \Rightarrow$

4.2010

$a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$

2.2001

$a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$

حالا اینا رو حل کنید تا بعد

Aria Keshtkar · 1392/10/16

پاسخ : سوالات جبر اسپانیا

پاسخ پرسش نخست :
صورت صحیح پرسش

$\sum \left ( \frac{a}{1+ab} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

است که به وضوح و با شرایط مزبور داریم :

$abc=1\rightarrow \left ( a,b,c \right )\leftrightarrow \left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x} \right )\\ \sum \left ( \frac{a}{1+ab} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{zx}{y\left ( z+x \right )}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( zx \right )^{2}}{z+x}\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{2\left ( x+y+z \right )}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \left ( xy \right )^{2}+\left ( yz \right )^{2}+\left ( zx \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( x+y+z \right )\geq 0$

که در خطّ دوم از لم تیتو (نامساوی کوشی-شوارتز) استفاده شده است.

پاسخ پرسش دوم :
به وضوح و بدون در نظر گرفتن

$abc=1$

داریم :

$\sum \frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}\geq \frac{15}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{3a+3b+9c}{3a+3b+2c}\geq \frac{45}{8}\Leftrightarrow \\ \sum \frac{c}{3a+3b+2c}\geq \frac{3}{8}\\ \sum \frac{c}{3a+3b+2c}=\sum \frac{c^{2}}{3ac+3bc+2c^{2}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+2\left ( ab+bc+ca \right )}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+6\left ( ab+bc+ca \right )}\geq \frac{3}{8}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

که در خطّ سوم از لم تیتو (نامساوی کوشی-شوارتز) استفاده شده است.

پاسخ پرسش سوم :
به وضوح و بدون در نظر گرفتن

$abc=1$

داریم :

$\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^{2}}{a\left ( b+c \right )}\geq 1+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )}\\ \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}+\sum \frac{a}{b+c}\geq\\ 1+\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+2\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \right )\geq \frac{5}{2}$

که در خطّ نخست از لم تیتو (نامساوی کوشی-شوارتز) و در خطّ سوم از نامساوی حسابی-هندسی استفاده شده است.

mathematicia76 · 1392/10/16

پاسخ : سوالات جبر اسپانیا

Aria Keshtkar گفت

ببخشید اینو چجوری بدست آوردید؟؟

$\sum \frac{a}{b+c} = \sum \frac{a^2}{a(b+c)}$

فکر کنم اشتباهه
شما a رو فقط تو یه کسر ضرب کردید و این بدست اومده
برای بقیه یه چیز دیگه میشه

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

راستی فقط برای سوال اول باید شرط abc =1 رو در نظر بگیرید
من چک کردم دیدم سوال دو و سه فرضی ندارند

Aria Keshtkar · 1392/10/16

پاسخ : سوالات جبر اسپانیا

mathematicia76 گفت

سلام. نه درسته چون نامساوی cyclic هست b,c هم مثل a تغییر می کنند. به روند پاسخ که توجّه کنید ، متوجّه میشید چی میگم.

mathematicia76 · 1392/10/16

پاسخ : سوالات جبر اسپانیا

برای سوال اول هم تو کسر دوم مخرجش 1+bc هست نه a+bc

amirhossein1376 · 1392/10/16

پاسخ : سوالات جبر اسپانیا

mathematicia76 گفت

آره ببخشید اشتباه از منه

mathematicia76 · 1392/10/17

پاسخ : سوالات جبر اسپانیا

amirhossein1376 گفت

اشکال نداره.
فقط اگه بازم میتونید سوال اسپانیا بذارید و تایپیکو ولش نکنید !!

amirhossein1376 · 1392/10/17

پاسخ : سوالات جبر اسپانیا

ایشالله به زودی

Ali Akbar Kabiri · 1392/10/18

پاسخ : سوالات جبر اسپانیا

بسته شد..............

سوالات جبر اسپانیا

amirhossein1376

Well-Known Member

Aria Keshtkar

New Member

mathematicia76

New Member

Aria Keshtkar

New Member

mathematicia76

New Member

amirhossein1376

Well-Known Member

mathematicia76

New Member

amirhossein1376

Well-Known Member

Ali Akbar Kabiri

Moderator