سوالات گيج كننده

[IMOgoldmedal]

اين سوالات در نگاه اول سخت بنظر مي رسند ولي در واقع خيلي سخت نيستند.
1- تمام نقاط يك خط را با دو رنگ قرمز و آبي رنگ مي كنيم. ثابت كنيد در اين خط حداقل سه نقطه همرنگ پيدا مي شود كه يكي از آنها وسط دو نقطه ديگر باشد.
2- تمام نقاط يك صفحه را با دو رنگ قرمز و آبي رنگ كرده ايم. ثابت كنيد حداقل يك مثلث متساوي الاضلاع با راس هاي يكرنگ در اين صفحه پيدا مي شود.
3- تمام نقاط صفحه را با 2 رنگ ‌، رنگ آميزي كرده ايم . ثابث كنيد حداقل يك مستطيل با راس هاي همرنگ در اين صفحه پيدا مي شود.
4- تمام نقاط يك صفحه را با سه رنگ 1 و 2 و 3 رنگ آميزي كرده ايم ثابت كنيد در اين صفحه حداقل دو نقطه همرنگ پيدا مي شود كه فاصله آن ها 1 باشد
5- تمام نقاط فضا را با دو رنگ قرمز و آبي رنگ آميزي كرده ايم. ثابت كنيد در اين فضا حداقل يك چهار وجهي منتظم پيدا مي شود كه راس هاي آن همرنگ باشند.

 

[IMOgoldmedal]

يعني اينقدر سختند؟ خب جواب 1 رو خودم ميگم:

مي دانيم كه در روي اين خط حداقل دو نقطه همرنگ پيدا مي شود. اين دونقطه را A و B ميناميم.بدون اينكه از كلي بودن اثبات چيزي كم شود مي توانيم فرض كنيم كه A و B قرمز هستند. حال به اندازه AB از دو سر A و B امتداد مي دهيم و نقاط بوجود آمده را C و D مي ناميم. نقطه ي وسط AB را نيز E مي ناميم. بديهي است كه اگر هر يك از نقاط C يا D يا E قرمز باشند ، كار تمام است و اگر هيچكدام قرمز نباشند پس هر سه آبي هستند كه اين سه نقطه خودشان شرايط مورد نظر را دارند. پس در هر شرايطي مي توان اين سه نقطه را پيدا كرد.


حالا سوال 2 رو حل كنيد (راهنمايي: از همين حكم سوال 1 استفاده كنيد)

 

[Aref]

2- 3تا نقطه ی قرمز رنگی رو در نظر میگیریم که یکی وسط اون یکی باشه. حالا: 2تا مثلث متساوی الاضلاع کوچیک روی دو تا نصفه خط میسازیم. روی کل پاره خط هم یه مثلث متساوی الاضلاع بزرگ هم میسازیم. دو تا سر مثلث های کوچیک رو به هم وصل میکنیم و در کل 5تا مثلث متساوی الاضلاع توی شکل درست میکنیم. اگه همه ی مثلث های کوچیک 3 تا راسشون دو رنگ باشه اونوقت مثلث بزرگ سه راسش قرمز میشه

 

[Aref]

3- خط

و چهار نقطه ی همرنگ روی این خط رو در نظر میگیریم. بدون کاستن از کلیت فرض کنید که این 4نقطه قرمز رنگند. حالا از این 4 تا نقطه 4تا عمود نسبت به

خارج میکنیم. خط

رو موازی

رسم میکنیم تا این 4 تا عمود رو توی 4 تا نقطه قطع کنه. واضحه که اگه کمتر از سه تا از این نقاط آبی باشند حتما یه مستطیل با رئوس قرمز رنگ بوجود میاد.

رو هم موازی

رسم میکنیم. با استدلال مشابه بدست میاریم که این خط هم باید حداقل سه تا نقطه ی آبی داشته باشه. در نتیجه یه مستطیل آبی بوجود میاد.

 

[Aref]

واسه سوال دو:

 

[ali.mohseni]

پاسخ : سوالات گيج كننده

جواب سوال 4 رو میشه بذارین؟؟؟؟؟؟؟؟

 

[hamid7411]

پاسخ : سوالات گيج كننده

دوستان عزیز لطفا جواب قسمت 4 را تا دوشنبه روی سایت نگذارید این سوال برای آزمون ورودی مسابقات سیگما است که یک شنبه تمام خواهد شد .
دبیر خانه مسابقات سیگما