سوالی از دانشگاه توکیو ژاپن (ترکیبیات)

[Goharshady]

دو جعبه با نام های L و R داریم. جعبه ی L دارای x توپ و جعبه ی R دارای

توپ است. می دانیم

. عملیات # زیر را چند بار انجام می دهیم:
(#): فرض کنید z تعداد توپهای داخل L باشد. یک سکه می اندازیم که در آن احتمال شیر یا خط آمدن برابر است. اگر شیر بیاید

توپ را از R به L منتقل می کنیم و اگر خط بیاید

توپ را از L به R منتقل می کنیم. میدانیم:
[center:65e5a179b2]

[/center:65e5a179b2]
بعد از mامین حرکت

احتمال آن است که تعداد توپها در L برابر 30 باشد. مثلا :
[center:65e5a179b2]

[/center:65e5a179b2]

به سوالات زیر پاسخ دهید:​

1-برای هر m طبیعی که بزرگتر از 2 باشد با فرض y=x+1؛

را بر حسب

بیان کنید.​

2-برای هر عدد طبیعی n حاصل

را بیابید.​

3-برلی هر عدد طبیعی n حاصل

را بیابید.​

ترجمه شده از http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=87&cid=74&year=2010​

 

[SABB]

قسمت2- اگه (10)p2n رو به ازای یه n کوچک مثل 1 بنویسیم متوجه می شویم این اتفاق می افتد:
1) L=30,R=0
2) L=0,R=30
3) L=10,R=20
4)L=0,R=30
حالات 3 و 4 با انجام # روی L=10,R=20 تولید شده در (10)P1 بوجود آمده اند. پس اگر تا 2n ادامه دهیم میتوان گفت:
1) 4 بتوان n-1 تا R=30,L=0 داریم
2) 4 بتوان n-1 تا R=0,L=30 داریم
3) تمام حالت های ممکن برای (10)P2n-2 را داریم
1 و 2 که بدیهی هستند، چون به ازای هر mای در (30)Pm تمام عنصر های تولید شده L=30,R=0 هستند و در (0)Pm نیز همه برابر L=0,R=30 هستند.
می ماند تعداد L=30,R=0 ها را در 3 حساب کنیم:
کل حالات ممکن برای (10)P2n-2 برابر( S=2^(2n-2 است. فرض کنیم A تعداد L=30,R=0 ها در پایان کار باشد. پس داریم:

(P2n-2(10)=A/S --> A=P2n-2(10)*2^(2n-2​

بنابراین P2n(10)=(P2n-2(10)*2^(2n-2)+4^(n-1))/2^2n پس:​

(P2n(10)=1/4(P2n-2(10)+1​

 

[Goharshady]

ببخشید، من اصلا نمی تونم چیزهایی رو که نوشته اید بخونم!
متاسفانه Codepage من خیلی متفاوته!
لطفا به صورت عکس بذارید یا اینکه از صفحه تون عکس بگیرید و برای من بفرستید.
تنها چیزی که فهمیدم این بود که بازگشتی کار کردید ، جواب بازگشتی در هر المپیادی غیر قابل قبول است و باید حتما شکل بسته ی آن را بیابید. (البته مطمئن نیستم که شما این کار را کرده اید یا نه!)
موفق باشید