سوالی ساده در نظریه اعداد

[Aref]

ثابت کنید به ازای اعداد طبیعی m,nبزرگتر از 2 فرجه n ام m به توان n ، به اضافه ی 1 (زیر رادیکال) اصم است.

 

[asadh]

چون nو m بزرگتر از 2 است، پس حاصل می شود m به توان( n+1 تقسیم بر n) این عدد با توجه به فرض هیچگاه طبیعی نیست و عدد زیر رادیکال می ماند.

 

[mohammad_72]

به راحتي ميشه ثابت كرد اگه 2 تا توان n ام كامل نامنفي
اختلافشون 1 باشه اون دو تا عدد 0 و 1 اند. پس
حاصل [SUP]n[/SUP]√m[SUP]n[/SUP]+1 براي n و m بزرگتر از 2 جواب نداره.

 

[Aref]

منظورم اینه:

.

با تشکر از آقای شریفی.

 

[Aref]

به راحتي ميشه ثابت كرد اگه 2 تا توان n ام كامل نامنفي
اختلافشون 1 باشه اون دو تا عدد 0 و 1 اند. پس
حاصل [SUP]n[/SUP]√m[SUP]n[/SUP]+1 براي n و m بزرگتر از 2 جواب نداره.

شما هیچ برهانی نیاوردید بنویسید از کجا پیدا کردید که این عبارت فقط برای0و1 جواب صحیح داره.

 

[mohammad_72]

X^n-Y^n = 1 پس:
(X-Y)(X^n-1 + X^n-2*Y + ... + Y^n) = 1
بنابراين : X-Y = 1 و X^n-1 + X^n-2*Y + ... + Y^n-1 = 1
اگه X و Y طبيعي باشن و n > 1 اونوقت تساوي دوم نمي‌تونه
برقرار باشه!
اثبات دوم :
طبق قضيه‌ي فرما m^n+1^n = k^n براي n>2 در اعداد
طبيعي جواب نداره!

 

[mousavi]

(m^n+1)^1/n=a/b (a.b)=1
m^n+1=a^n/b^n
m^n=a^n-b^n/b^n
b^n ا a^n
(a^n.b^n)=b^n تناقض
if b=1 m<(m^n+1)^1/n<m+1 تناقض