سوال از مجموع مقسوم علیه ها

AhmadrezaBM · 1393/1/13

سلام
یک سوال از مجموع مقسوم علیه ها گذاشتم:
فرض کنید

$\sigma (x)$
مجموع مقسوم علیه های x باشد. در اینصورت مطلوبست:

$lim \frac{\sigma (10^n)}{10^n}(n\rightarrow \infty )$

Al!R3ZA · 1393/1/13

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

منظورتون مجموع مقسوم علیه های مثبته دیگه؟

AhmadrezaBM · 1393/1/14

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

Al!R3ZA گفت

بله. با احتساب خود عدد.

moghini · 1393/1/14

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

نمیدونم درست باشه یا نه به هر حال گذاشتم.

$10^{n}=2^{n}\times 5^{n}\Rightarrow \tau (10^{n})=\left ( n+1 \right )^{2}={n^{2}+2n+1}\Rightarrow \delta \left ( 10^{n} \right )=\sqrt{\left ( 10^{n}(^{n^{2}+2n+1} \right )}\Rightarrow =\sqrt{10^{n^{3}+2n^{2}+n}}\Rightarrow A=\sqrt{\frac{10^{n^{3}+2n^{2}+n}}{10^{n^{2}}}}=\infty$

AhmadrezaBM · 1393/1/14

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

moghini گفت

روشتون رو نفهمیدم اما جواب پایانی بینهایت نیست. یک مثال میزنم:
برای n=1 داریم:

$\sigma (10)=1+2+5+10=18 , \frac{\sigma (10)}{10}=\frac{18}{10}=1.8$

حاصل کسر 1.8 میشه. اگر n=2 قرار بدیم حاصل کسر 2.17 میشه. حالا باید ببینیم اگر n رو به بینهایت میل بدیم حاصل کسر به چی میل میکنه.

Al!R3ZA · 1393/1/14

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

اول با یه ذره محاسبات داریم :

$10^n = 2^n \times 5^n \Rightarrow \sigma (10^n)=\sigma (2^n) \times \sigma (5^n)= \frac{2^{n+1}-1}{2-1} \times \frac{5^{n+1}-1}{5-1}=\frac{10^{n+1}-2^{n+1}-5^{n+1}+1}{4}$

حالا هم خواسته مساله :

$lim_{n \to \infty } \frac{\frac{10^{n+1}-2^{n+1}-5^{n+1}+1}{4}}{10^n}= \frac{10^{n+1}-2^{n+1}-5^{n+1}+1}{4 \times 10^n} = \frac{1}{4} \times (10+0+0+0)= \frac{10}{4} = 2.5$

AHZolfaghari · 1393/1/14

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

moghini گفت

دوست عزیز ، فکر کنم شما حاصلضرب مقسوم علیه های اون عدد رو بدست آوردی نه مجموعشو !!

Al!R3ZA · 1393/1/14

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

حاصلضرب که معلومه بی نهایت میشه !

moghini · 1393/1/14

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

AHZolfaghari گفت

اوه بله.مجموع مطلوب بود.ببخشیدممنون.

AhmadrezaBM · 1393/1/15

پاسخ : سوال از مجموع مقسوم علیه ها

Al!R3ZA گفت

کاملا درسته. در حالت کلی می توان اثبات کرد:

$lim \frac{\sigma ((p_{1} p_{2} p_{3} ... p_{i} )^n )}{(p_{1} p_{2} p_{3} ... p_{i} )^n } (n\rightarrow \infty )=\frac{p_{1}}{p_{1}-1}\frac{p_{2}}{p_{2}-1}\frac{p_{3}}{p_{3}-1}...\frac{p_{i}}{p_{i}-1}$

که در اینجا داریم:

$\frac{2}{2-1}\times \frac{5}{5-1}=\frac{10}{4}=2.5$

سوال از مجموع مقسوم علیه ها

AhmadrezaBM

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

AhmadrezaBM

New Member

moghini

New Member

AhmadrezaBM

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

moghini

New Member

AhmadrezaBM

New Member