سوال از کتاب نظریه اعداد فاطمی

ghobadi · 1390/12/11

سلام
سوال 11 فصل1 نظریه اعداد فاطمی، اگه میشه جواب رو برام بنوسید .:87:

hkh74 · 1390/12/11

پاسخ : سوال از کتاب نظریه اعداد فاطمی

راهنمایی این سوال در انتهای کتاب آمده.

راه حل:
مجموعه ی

$A$

رو برابر مجموعه ی مقسوم علیه های مثبت n در نظر می گیریم (اگر مقسوم علیه های منفی هم مد نظر سوال باشد، سوال غلط است، مثلا

$f(m)=-m$

).

به وضوح:

$1|f(1)$

پس طبق فرض:

$f(1)|f(f(1))$

و باز هم طبق فرض:

$f(f(1))|f(f(f(1)))$

. با ادامه ی این روند می توان نتیجه گرفت:

$f^k(1)|f^{k+1}(1)$

(k طبیعی است)

چون

$f^k(1)\: ,f^{k+1}(1)> 0$

و

$f^k(1)|f^{k+1}(1)$

پس

$f^k(1)\leq f^{k+1}(1)$

. بنابراین:

$1\leq f(1)\leq f(f(1))\leq \dots \leq f^k(1)\leq n$

k را عددی بزرگتر از n در نظر بگیرید. پس t طبیعی وجود دارد که:

$f^t(1)=f^{t+1}(1)$

. قرار دهید:

$m=f^t(1)$

پس

$f(m)=m$