سوال انتخابی آمریکا

mahdisaj · 1389/7/12

مجموعه ی جواب معادله ی زیر را در مجموعی اعداد طبیعی بیابید :

$n^{7}+7=a^{2}$

mrbayat · 1389/7/12

داریم:

$a^2\overset{4}{\equiv}0,1\Rightarrow n^{7}+7\overset{4}{\equiv}a^2\Rightarrow \begin{Bmatrix} n\overset{4}{\equiv}0\Rightarrow n^{7}+7\overset{4}{\equiv}3\overset{4}{\equiv}a^2 \\n\overset{4}{\equiv}2\Rightarrow n^{7}+7\overset{4}{\equiv}3\overset{4}{\equiv}a^2 \\ n\overset{4}{\equiv}-1\Rightarrow n^{7}+7\overset{4}{\equiv}2\overset{4}{\equiv}a^2 \end{Bmatrix} \Rightarrow n\overset{4}{\equiv}1$

حالا به دو طرف معادله عدد 121 را اضافه می کنیم:

$n^7+2^7=a^2+11^2\Rightarrow (n+2)(n^6-\cdots +2^6)=a^2+11^2$

حالا واضح است که :

$n+2\overset{4}{\equiv}3$

و واضح است که هر عدد به فرم 4k+3 حتما یک عامل اول به فرم 4t+3 دارد . پس:

$\exists p:p\mid n+2,p\overset{4}{\equiv}3$

یه لم پر کاربرد : اگر

$p\overset{4}{\equiv}3,p\mid a^2+b^2$

آنگاه

$p\mid a,p\mid b$

پس:

$\exists p:p\mid n+2,p\overset{4}{\equiv}3 \Rightarrow p\mid a,p\mid 11\Rightarrow p=11$

یعنی تنها مقسوم علیه n+2 که به فرم 4t+3 است برابر 11 است و بقیه به فرم 4s+1 اند.
حالا توجه کنید که داریم:

$a^2+11^2=11^2k^2+11^2=11^2(k^2+1)\Rightarrow 11^2\mid (n+2)(n^6-\cdots +2^6)$

پس در این عبارت دو عامل 11 وجود دارد که یکی در n+2 است و برای دیگری دو حالت داریم:

$1)11^2\mid n+2\Rightarrow n+2=11^2\cdot t , t\overset{4}{\equiv}1\Rightarrow n+2\overset{4}{\equiv}1$

$2)11\mid n+2 , 11\mid n^6-\cdots +2^6\Rightarrow n\overset{11}{\equiv}-2\Rightarrow n^6-\cdots +2^6 \overset{11}{\equiv} 7\cdot 2^6\neq 11k$

که در دو حالت به تناقض رسیدیم. یعنی مسئله جواب ندارد.

سوال انتخابی آمریکا

mahdisaj

New Member

mrbayat

New Member