سوال جبر

danialm · 1388/12/10

اگرa و bو cوd اعداد مثبت و حقیقی باشد فرض کنید :

$a+b+c+d=12$

و

$abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd$

باشد تمام مقادیر ممکن برای a وbوcوd را پیدا کنید

mrbayat · 1389/2/20

ابتدا طبق حسابی هندسی:

$ab+ac+ad+bc+bd+cd\geq 6\sqrt{abcd}$

پس:

$\Rightarrow abcd\geq 27+6\sqrt{abcd}=27+3\sqrt{abcd}+3\sqrt{abcd}\geq 3\sqrt[3]{3^{5}abcd}$

$\Rightarrow abcd\geq 9\sqrt[3]{9abcd} \Rightarrow (abcd)^{3}\geq 9^{4}abcd \Rightarrow (abcd)^{2}\geq 9^{4}\Rightarrow abcd\geq 3^{4}$

$12=a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}\geq 4\sqrt[4]{3^{4}}=12 \Rightarrow 12\geq 4\sqrt[4]{abcd}\geq12$

$\Rightarrow abcd=3^{4}$

حالا چون داریم

$a+b+c+d=12$

و

$abcd=3^{4}$

اگر با این دو عبارت یک نامساوی حسابی هندسی بنویسیم دو طرف نامساوی با هم برابر می شود پس طبق شرط تساوی نامساوی حسابی هندسی

$a=b=c=d=3$