سوال مرحله دوم المپیاد ریاضی

P3YM4N · 1392/7/24

سلام
نشان دهید برای هر m و n طبیعی:

$\sum_{k=1}^{n}k(k+1)...(k+m-1)=\frac{n(n+1)...(n+m)}{m+1}$

Al!R3ZA · 1392/7/24

پاسخ : سوال مرحله دوم المپیاد ریاضی

سلام میشه بگید برای چه دوره ای بوده؟
--------------
با استقرا حل میکنیم :

$n=1\Rightarrow 1\times2\times...\times m=\frac{1\times2\times...\times(m+1)}{m+1}$

که به وضوح درسته. حالا فرض میکنیم به ازای

$n=k$

درست باشه یعنی :

$\sum_{i=1}^{k}(i)\times(i+1)\times...\times(i+m-1)=\frac{k(k+1)...(k+m)}{m+1}$

حالا از این فرض ، حکم رو برای

$n=k+1$

ثابت میکنیم. به طرفین مقدار

$(k+1)(k+2)...(k+m)$

رو اضافه میکنیم. داریم :

$\sum_{i=1}^{k+1}i(i+1)...(i+m-1)=\frac{k(k+1)...(k+m)}{m+1}+(k+1)(k+2)...(k+m)$

(به بازه بالای سیگمای سمت چپ دقت کنید که نسبت به حالت قبل یه واحد افزایش یافته و در اصل حاصل جمع سیگمای قبلی و مقدار اضافه شده ی

$(k+1)(k+2)...(k+m)$

هست)
سمت راست رو ساده کنیم ، به حکم

$n=k+1$

میرسیم :

$\frac{k(k+1)...(k+m)}{m+1}+(k+1)(k+2)...(k+m)=((k+1)(k+2)...(k+m))(1+\frac{k}{m+1})=(k+1)(k+2)...(k+m)(\frac{k+m+1}{m+1})=p(k+1)$

در آخر هم به قول کتابا ، بنا بر اصل استقرای ریاضی ، حکم به ازای تمام اعداد طبیعی برقرار است :4:

P3YM4N · 1392/7/24

پاسخ : سوال مرحله دوم المپیاد ریاضی

Al!R3ZA گفت

--------------
سلام
نه نمیشه
کتابش کنار دستم نیست
باید 10 متر راه برم
انشالله فردا میام میگم :4:

Al!R3ZA · 1392/7/24

پاسخ : سوال مرحله دوم المپیاد ریاضی

P3YM4N گفت

من اینهمه فسفر سوزوندم از وقت کنکورم زدم حل کردم ، تو 10 قدم نمیتونی پاشی بری؟ :4:
البته خداییش سخت نبود. میخوام بدونم واقعاً برا مرحله دو بوده؟ اینو خیلی از بچه های مدارس قوی هم میتونن حل کنن ( اونایی که صرفاً استقرا بلد باشن که تو جبر سال سوم و گسسته سال چهارم درس میدن ! )

P3YM4N · 1392/7/24

پاسخ : سوال مرحله دوم المپیاد ریاضی

Al!R3ZA گفت

زمانش مال فروردین 9 سال قبل از تولد من هست :153:
منم متولد 77 هستم:4:
آره سوالش آسون بود انصافا
ولی اصلا به فکرم نرسید به استقرا میشه حلش کرد
خود کتاب هم یک راه حعععلی عجیب گفته

AHZolfaghari · 1393/4/26

پاسخ : سوال مرحله دوم المپیاد ریاضی

becomeingalgebra گفت

چه جوری این جوری مینویسید؟ این عکسا؟
سبذشسبذشسذشذس
ؤسبسبذسشبذسبذسب یبثبهشبعذشعازذشذزش شزسزش ذت لل صقلقلافاقلثب سلبقساشاشف افاقتقغصصشلصب
ٌبضبصبیناسلیعغصبعبغفثسیقشللشبل ثشهعضثلبه هغله غبلبغ بغ غبث غبثعب ض یعصضبعیبصضعیب ضغهفضصهیفغضعصبیع عصضبیعبع ب عبع بعبعفبذعب ذعبع ذبغف سبذشسبذشسذشذس
ؤسبسبذسشبذسبذسب یبثبهشبعذشعازذشذزش شزسزش ذت لل صقلقلافاقلثب سلبقساشاشف افاقتقغصصشلصب
ٌبضبصبیناسلیعغصبعبغفثسیقشللشبل ثشهعضثلبه هغله غبلبغ بغ غبث غبثعب ض یعصضبعیبصضعیب ضغهفضصهیفغضعصبیع عصضبیعبع ب عبع بعبعفبذعب ذعبع ذبغف غسبذشسبذشسذشذس
ؤسبسبذسشبذسبذسب یبثبهشبعذشعازذشذزش شزسزش ذت لل صقلقلافاقلثب سلبقساشاشف افاقتقغصصشلصب
ٌبضبصبیناسلیعغصبعبغفثسیقشللشبل ثشهعضثلبه هغله غبلبغ بغ غبث غبثعب ض یعصضبعیبصضعیب ضغهفضصهیفغضعصبیع عصضبیعبع ب عبع بعبعفبذعب ذعبع ذبغف غغی

اگه منظورتون طریقه نوشتن فرمول ها هستش که برید به این سایت :
Online LaTeX Equation Editor - create, integrate and download

سوال مرحله دوم المپیاد ریاضی

P3YM4N

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

P3YM4N

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

P3YM4N

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member