سوال نظریه اعداد حرفه ای

mohamadreza salehi · 1391/7/26

ثابت کنید اگر xy+y و xy+x مربع اعداد صحیح و متمایزی باشند دقیقا یکی از x یا y مربع کامل اند

MBGO · 1391/7/26

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

این سوال آمادگی ویتنامه

فقط میدونم راه حل چندان ساده ای نداره

ازکجا گیر آوردیش؟ چون فکر نکنم تو کتاب های چاپی باشه.

mohamadreza salehi · 1391/7/27

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

این یه نفر ازم پرسید

mohamadreza salehi · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

خب دوستان نظری دارید رو حلش؟

Ayfar · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

به نظر من سوال خیلی واضح و آسونه
اولا که تابلو میباشد که هر دوی

$x,y$

نمیتوانند مربع کامل باشند(معادله فیثاغورث) .پس باید ثابت کنیم حداقل یکیشون مربع کامله .برهان خلف میزنیم فرض میکنیم هیچ کدام مربع کامل نباشه پس باید

$gcd(x,y+1)=d> 1,gcd(x+1,y)=t> 1$

$d\mid x,d\mid y+1$

همچمنین

$t\mid x+1,t\mid y$

پس داریم

$td\mid xy,td\mid (x+1)(y+1)\Rightarrow td\mid x+y$

اما داریم

$t\mid x+y+1$

ali math2 · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

خوب اقای
mohamadreza salehi
بگید مشکل حل کجاس که تا بگم کجا اشتباه کردید:53:

Ayfar · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

mohamadreza salehi گفت

یه آدم حرفه ای گفت که این راه حل درسته و هیچ اشتباهی نداره بهتره شما بیشتر دقت کنی

MBGO · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

Ayfar گفت

به نظر من سوال خیلی واضح و آسونه
اولا که تابلو میباشد که هر دوی

$x,y$

نمیتوانند مربع کامل باشند(معادله فیثاغورث) .پس باید ثابت کنیم حداقل یکیشون مربع کامله .برهان خلف میزنیم فرض میکنیم هیچ کدام مربع کامل نباشه پس باید

$gcd(x,y+1)=d> 1,gcd(x+1,y)=t> 1$

$d\mid x,d\mid y+1$

همچمنین

$t\mid x+1,t\mid y$

پس داریم

$td\mid xy,td\mid (x+1)(y+1)\Rightarrow td\mid x+y$

اما داریم

$t\mid x+y+1$

مثال نقض : x=1,y=8

ali math2 · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

خوب باید میگفت کهx, yمخالف یک باشند و اون حالت رو چک میکرد. این مثال نقض نیست بلکه راه حل Ayfar ناقصه و شما کاملش کردید:53:

MBGO · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

ali math2 گفت

پس یعنی داری میگی تنها حالتی که ب.م.م برابر 1 میشه وقتیه که یکی از متغیر هامون برابر 1 باشه؟ پس این مورد هم باید اثبات بشه که نشده.

M_Sharifi · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

Ayfar گفت

به نظر من سوال خیلی واضح و آسونه
اولا که تابلو میباشد که هر دوی

$x,y$

نمیتوانند مربع کامل باشند(معادله فیثاغورث) .پس باید ثابت کنیم حداقل یکیشون مربع کامله .برهان خلف میزنیم فرض میکنیم هیچ کدام مربع کامل نباشه پس باید

$gcd(x,y+1)=d> 1,gcd(x+1,y)=t> 1$

$d\mid x,d\mid y+1$

همچمنین

$t\mid x+1,t\mid y$

پس داریم

$td\mid xy,td\mid (x+1)(y+1)\Rightarrow td\mid x+y$

اما داریم

$t\mid x+y+1$

چرا td| x+y ؟ این که غلطه.

mohamadreza salehi · 1391/7/28

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

منم به شما میگفتم کاملا غلط بی ربطه از اقای شریفی و mbgo بسیار متشکرم

Ayfar · 1391/7/29

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

فرض كنيد x>y

$x(y+1)=z^2,y(x+1)=f^2$

و

$x(y+1)=(2z)^2/4,y(x+1)=(2f)^2/4$

حالا

$z-f=a,z+f=b$

پس داريم

$x(x+ab+1)=(a-b)^{2}/4$

(1)
و باید دلتای معاله مربع کامل باشد پس

$(ab+1)^2+(a-b)^2=(a^2+1)+(b^2+1)$

پس باید داشته باشیم

$a^2=dr^2-1,b^2=ds^2-1$

خب الآن این دو تا معادله پل هستن
((مراجعه به صفحه 106 کتاب معادلات دیوفانتی تیتو آندرسکو ترجمه محمد شریفی ))

$a=1/2(B+A\sqrt[]{d})(u_{0}+v_{0}\sqrt[]{d})^n+1/2(B-A\sqrt[]{d})(u_{0}-v_{0}\sqrt[]{d})^n$

و همچنین میتوان

$b,r,s$

را به این گونه نوشت
به طوری که برای

$b$

به جای توان
n
توان
i
میباشد
و طبق معادله درجه دوم(1) بالا
Xبه دست میاید

$((u_{0}-v_{0}\sqrt{d})^{n-i}+(u_{0}-v_{0}\sqrt{d})^{n-i}))/2$

که به دلیل اینکه زوجیت
a,b
برابر است پس زوجیت
n,i
برابر است پس
به وضوح
X
مربع کامل میشود.

حالا هرکی · 1391/8/8

پاسخ : سوال نظریه اعداد حرفه ای

فقط 1و8 توی این معادله صدق میکنن میتونین با ادامه دادن راه ((آیفار)) این رو اثبات کنین.

سوال نظریه اعداد حرفه ای

mohamadreza salehi

New Member

MBGO

New Member

mohamadreza salehi

New Member

mohamadreza salehi

New Member

Ayfar

New Member

ali math2

New Member

Ayfar

New Member

MBGO

New Member

ali math2

New Member

MBGO

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohamadreza salehi

New Member

Ayfar

New Member

حالا هرکی

New Member