ضرایب دو جمله ای

[M_Sharifi]

یه سوال:
فرض کنید

عددی اول و مفروض است. همه ی اعداد طبیعی

را بیابید که هیچ یک از ضرایب بسط دوجمله ای

[center:f65ce131a9]

[/center:f65ce131a9]بر بخش پذیر نباشند.

 

[mohammad_72]

n فقط ميتونه يه تواني از p منهاي 1 باشه.

 

[M_Sharifi]

n فقط ميتونه يه تواني از p منهاي 1 باشه.

نه، درست نیست.

 

[mohammad_72]

جواب درست اينه ( لااقل فكر مي‌كنم اين باشه ! ) :
طبق قضيه‌ي لوكا ميدونيم اگه n = n[SUB]0[/SUB] + n[SUB]1[/SUB]p + n[SUB]2[/SUB]p[SUP]2[/SUP] + ... + n[SUB]k[/SUB]p[SUP]k[/SUP] و m = m[SUB]0[/SUB] + ... + m[SUB]k[/SUB]p[SUP]k[/SUP] داريم‌:
C(n, m) ≡ C(n[SUB]0[/SUB], m[SUB]0[/SUB])*C(n[SUB]1[/SUB], m[SUB]1[/SUB])*...*C(n[SUB]k[/SUB], m[SUB]k[/SUB]
اگه n[SUB]0[/SUB] = n[SUB]1[/SUB] = ... = n[SUB]t[/SUB] = p-1 و t<k-1 و تعريف كنيم m = n[SUB]0[/SUB] + ... + n[SUB]t[/SUB]p[SUP]t[/SUP] + (n[SUB]t+1[/SUB]+1)p[SUP]t+1[/SUP] طبق قضيه‌ي بالا C(n, m) بر p بخشپذيره و m<n پس t>=k-1 يعني n = (p-1) + (p-1)p + ... + (p-1)p[SUP]k-1[/SUP] + n[SUB]k[/SUB]p[SUP]k[/SUP] = (n[SUB]k[/SUB]+1)p[SUP]k[/SUP] - 1 ( كه n[SUB]k[/SUB] بين 1 تا p-1 هست )
پس n = x.p[SUP]k[/SUP] - 1 كه x ميتونه از 2 تا p باشه.

 

[M_Sharifi]

جواب درست اينه ( لااقل فكر مي‌كنم اين باشه ! ) :
طبق قضيه‌ي لوكا ميدونيم اگه n = n[SUB]0[/SUB] + n[SUB]1[/SUB]p + n[SUB]2[/SUB]p[SUP]2[/SUP] + ... + n[SUB]k[/SUB]p[SUP]k[/SUP] و m = m[SUB]0[/SUB] + ... + m[SUB]k[/SUB]p[SUP]k[/SUP] داريم‌:
C(n, m) ≡ C(n[SUB]0[/SUB], m[SUB]0[/SUB])*C(n[SUB]1[/SUB], m[SUB]1[/SUB])*...*C(n[SUB]k[/SUB], m[SUB]k[/SUB]
اگه n[SUB]0[/SUB] = n[SUB]1[/SUB] = ... = n[SUB]t[/SUB] = p-1 و t<k-1 و تعريف كنيم m = n[SUB]0[/SUB] + ... + n[SUB]t[/SUB]p[SUP]t[/SUP] + (n[SUB]t+1[/SUB]+1)p[SUP]t+1[/SUP] طبق قضيه‌ي بالا C(n, m) بر p بخشپذيره و m<n پس t>=k-1 يعني n = (p-1) + (p-1)p + ... + (p-1)p[SUP]k-1[/SUP] + n[SUB]k[/SUB]p[SUP]k[/SUP] = (n[SUB]k[/SUB]+1)p[SUP]k[/SUP] - 1 ( كه n[SUB]k[/SUB] بين 1 تا p-1 هست )
پس n = x.p[SUP]k[/SUP] - 1 كه x ميتونه از 2 تا p باشه.

حالا درست شد.