ضرایب چندجمله ای

[M_Sharifi]

همه ی اعداد طبیعی n را بیابید که همه ی ضرایب چندجمله ای

[center:6d243128bf]

بر 7 بخش پذیر شوند.​

[/center:6d243128bf]

 

[mohammad_72]

فقط براي n هاي توان 7 درسته.

 

[M_Sharifi]

فقط براي n هاي توان 7 درسته.

جواب شما درست نیست.

 

[mohammad_72]

با استقراء ثابت مي‌كنيم: فرض مي‌كنيم از بين اعداد كوچكتر از n فقطاونايي كه توان 7 ان تو حكم مسأله صدق مي‌كنن. ضريب x^3 رو حساب مي‌كنيممي‌شه : n(n-1) بنابراين يا n مضرب هفته كه مسأله حله. يا نيست كه اونوقتn به شكل 7k+1 هست . پس :
P(x) ≡ (x[SUP]14[/SUP] + x[SUP]7[/SUP] + 1)[SUP]k[/SUP](x[SUP]2[/SUP]+x+1) - (x[SUP]14[/SUP] + x[SUP]7[/SUP])[SUP]k[/SUP](x[SUP]2[/SUP]+x) - (x[SUP]14[/SUP] + 1)[SUP]k[/SUP](x[SUP]2[/SUP]+1) - (x[SUP]7[/SUP]+1)[SUP]k[/SUP](x+1) + x[SUP]2n[/SUP] + x[SUP]n[/SUP] + 1 = Q(x)
تقريبا واضحه كه توان x توي Q به صورت 7k , 7k+1, 7k+2 فقط هست. پس Q(x) = Q[SUB]1[/SUB](x) + Q[SUB]2[/SUB](x) + Q[SUB]3[/SUB](x) كه Q[SUB]1[/SUB] فقط توانهاي به صورت 7k رو داره و ... . پس :
Q[SUB]1[/SUB](x) = (x[SUP]14[/SUP] + x[SUP]7[/SUP] + 1)[SUP]k[/SUP] - (x[SUP]14[/SUP] + 1)[SUP]k[/SUP] - (x[SUP]7[/SUP] + 1)[SUP]k[/SUP] + 1
Q[SUB]3[/SUB](x) = x[SUP]2[/SUP] * ( (x[SUP]14[/SUP] + x[SUP]7[/SUP] + 1)[SUP]k[/SUP] - (x[SUP]14[/SUP] + x[SUP]7[/SUP])[SUP]k[/SUP] - (x[SUP]14[/SUP] + 1)[SUP]k[/SUP] + x[SUP]14k[/SUP])
پس : Q[SUB]3[/SUB](x)/x[SUP]2[/SUP] - Q[SUB]1[/SUB](x) = (x[SUP]7k[/SUP] - 1)((x[SUP]7[/SUP]+1)[SUP]k[/SUP] - x[SUP]7k[/SUP] - 1)
اگه تو اين چند جمله‌اي جديد ضريب x[SUP]7[/SUP] رو حساب كنيم مي‌بينيم برابر k- هست پس k بر 7 بخشپذيره. بنابراين Q[SUB]1[/SUB](x) همنهشته با يه چنجمله‌اي ديگه كه توانهاي x توش 7 برابر و توان پرانتزها توش 1/7 هست. اگه همينجور ادامه بديم ( در واقع يه استقراي ديگه ) مي‌بينيم كه k يه توان از هفته يعني n = 7[SUP]m[/SUP]+1 . الان درست يادم نمياد چه جوري اين حالت رد مي‌شه ولي مي‌دونم رد مي‌شه !

 

[Goharshady]

اثبات شما خیلی جالبه!
ولی فقط یک مشکل کوچک دارد
شما ثابت کردید برای n های توان 7 درسته ولی ثابت نکردید که برای سایر n ها درست نیست
پس ممکنه n های دیگری هم در این مسئله صدق کنند

 

[Goharshady]

فقط براي n هاي توان 7 درسته.

اگر کلمه فقط را حذف کنیم جواب شما درست است ولی کامل نیست

 

[mohammad_72]

مطمئني اثبات من اشكال داره ؟ فك نكنم غلط باشه ها !اشتباش كجاس ؟؟

 

[M_Sharifi]

مطمئني اثبات من اشكال داره ؟ فك نكنم غلط باشه ها !اشتباش كجاس ؟؟

دو تا اشتباه کوچیک توی اثباتت وجود داره. یکی این که حدس زدی که فقط توان های 7 جواب های مسئله اند، که غلطه (مثال نقضش هم n=2) و دوم این که اعداد 1+7[SUP]k[/SUP] رو نمیشه رد کرد. در واقع این اعداد هم قابل قبولند. حالا باید بتونی بگی همه ی جواب ها چیا هستند....

 

[mohammad_72]

با اين حساب بايد جوابش اعداد به صورت 7[SUP]m[/SUP](7[SUP]n[/SUP]+1) باشه .( n و m بزرگتر يا مساوين با 0 ) چون من ثابت كردم اگه عددي جواب مسأله باشه و به صورت 7k باشه k‌ هم جواب مسأله هست و اگه عدد بر 7 بخشپذير نباشه به صورت 7[SUP]m[/SUP]+1 هست. فقط مونده اثبات اينكه براي اعداد به صورت 7[SUP]m[/SUP]+1 حكم مسأله برقراره كه مي‌شه نوشت :

P(x) ≡ (x[SUP]2*7m[/SUP] + x[SUP]7m[/SUP] + 1)(x[SUP]2[/SUP]+x+1) - (x[SUP]2*7m[/SUP] + x[SUP]7m[/SUP])(x[SUP]2[/SUP]+x) - (x[SUP]2*7m[/SUP] + 1)(x[SUP]2[/SUP]+1) - (x[SUP]7m[/SUP]+1)(x+1) + x[SUP]2n[/SUP] + x[SUP]n[/SUP] + 1
( منظورم از 7m در توانها 7[SUP]m[/SUP] هست ) چن جمله‌اي بالا رو هم اگه ساده كنيم ميشه 0 كه واضحه تمام ضرايبش بر 7 بخشپذيره !!!

 

[M_Sharifi]

با اين حساب بايد جوابش اعداد به صورت 7[SUP]m[/SUP](7[SUP]n[/SUP]+1) باشه .( n و m بزرگتر يا مساوين با 0 ) چون من ثابت كردم اگه عددي جواب مسأله باشه و به صورت 7k باشه k‌ هم جواب مسأله هست و اگه عدد بر 7 بخشپذير نباشه به صورت 7[SUP]m[/SUP]+1 هست. فقط مونده اثبات اينكه براي اعداد به صورت 7[SUP]m[/SUP]+1 حكم مسأله برقراره كه مي‌شه نوشت :

P(x) ≡ (x[SUP]2*7m[/SUP] + x[SUP]7m[/SUP] + 1)(x[SUP]2[/SUP]+x+1) - (x[SUP]2*7m[/SUP] + x[SUP]7m[/SUP])(x[SUP]2[/SUP]+x) - (x[SUP]2*7m[/SUP] + 1)(x[SUP]2[/SUP]+1) - (x[SUP]7m[/SUP]+1)(x+1) + x[SUP]2n[/SUP] + x[SUP]n[/SUP] + 1
( منظورم از 7m در توانها 7[SUP]m[/SUP] هست ) چن جمله‌اي بالا رو هم اگه ساده كنيم ميشه 0 كه واضحه تمام ضرايبش بر 7 بخشپذيره !!!

مرسی، حالا درست شد.