عدد اول p و اعداد صحیح و نامنفی x,y,z

M_Sharifi · 1389/6/22

یه سوال:
آیا عدد اول

$p$

و اعداد صحیح و نامنفی

$x,y,z$

وجود دارند که

$(12x+5)(12y+7)=p^z$

؟

mrbayat · 1389/6/22

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 12x+5=p^{a}\\12y+7=p^{b} \end{matrix}\right. \Rightarrow p^{b}\overset{4}{\equiv} 3\Rightarrow p\overset{4}{\equiv} 3,p^{a}\overset{4}{\equiv}1\Rightarrow (-1)^{a}\overset{4}{\equiv}1\Rightarrow 2\mid a$

(

$p^{b}\overset{4}{\equiv} 3\Rightarrow p\overset{4}{\equiv} 3$

را می توان با برهان خلف ثابت کرد. چون

$p$

به پیمانه ی 4 یا 1 است یا 3 اگر 1 باشد

$p^{b}\overset{4}{\equiv }1$

پس باید داشته باشیم

$p\overset{4}{\equiv }3$

)

$2\mid a\Rightarrow a=2k\Rightarrow 12x+5=(p^{k})^{2}\Rightarrow 5\overset{3}{\equiv} (p^{k})^{2}\Rightarrow 3\mid (p^{k})^{2}+1$

با توجه به این مطلب واضح است که

$p$

برابر 3 نیست . پس طبق فرما داریم:

$(p^{k})^{2}\overset{3}{\equiv }1\Rightarrow (p^{k})^{2}+1\overset{3}{\equiv }2\Rightarrow 3\nmid (p^{k})^{2}+1$

پس چنین اعدادی وجود ندارند.

عدد اول p و اعداد صحیح و نامنفی x,y,z

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mrbayat

New Member