قضیه‌ی زیگموندی

mohammad_72 · 1389/2/30

اگه

$(a,b)=1$

و

$x_n = a^n-b^n$

اونوقت هر عضو از دنباله عامل اولی داره که هیچ کدوم از قبلیا ندارن.
بجز 2 استثنا :

$n = 2; a+b = 2^r$

و

$(n, a, b) = (6, 2, 1)$

من یکم رو اثباتش فکر کردم، به یه جاهایی رسیدم و به نظر میرسه راه زیادی تا اثباتش بافی نمونده
ولی دیگه مخم هنگ کرده !
اثبات نصفه‌ی خودمو تا چند دقیقه دیگه می‌نویسم.

mohammad_72 · 1389/2/30

لم :

$(a^n-b^n, a^m-b^m)=a^{(m,n)}-b^{(m,n)}$

اگه

$n=p^\alpha$

کافیه ثابت کنیم که

$\frac{a^n-b^n}{a^{\frac{n}{p}}-b^{\frac{n}{p}}}$

عامل اولی غیر از p داره که درسته (چون از p بزرگتره و حداکثر یه عامل p داره)
اگه

$n=2^\alpha , \alpha >1$

مثل بالا. اگه

$\alpha=1$

یکی از استثناها.
اگه

$n = p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}$

تعریف می‌کنیم

$A = \left ( \frac{a^n-b^n}{a^{\frac{n}{p_1}}-b^{\frac{n}{p_1}}},...,\frac{a^n-b^n}{a^{\frac{n}{p_k}}-b^{\frac{n}{p_k}}} \right )$

اگه A عامل اولی مثل q داشته باشه که n رو نشمره : q عدد اول جدیده
اگه هر عامل A عاملی از n باشه و q کوچکترین عامل اول A‌ باشه راحت دیده میشه که
A=q و

$n=q^r d$

که d کوچکترین عددیه که

$q|a^d-b^d$

... ؟
اگه A=1 ... ؟

M_Sharifi · 1389/2/30

اگه

$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$

و

$n\geq3$

، و همه ی عوامل اول

$a^n-b^n$

توی جملات قبلی دنباله اومده باشند، اون وقت،

[center:41e7d4cb2e]

$a^n-b^n\left\mid p_1p_2\ldots p_k \left[a^{\frac n{p_1}}-b^{\frac n{p_1}},\ldots,a^{\frac n{p_k}}-b^{\frac n{p_k}}\right]$

حالا ثابت میشه کرد که عبارت سمت راست عاد کردن، کوچک تره (مثلا با استقرا روی

$k$

) که این تناقضه. (مگه به ازای یه سری حالت های خاص)

[/center:41e7d4cb2e]

قضیه‌ی زیگموندی

mohammad_72

New Member

mohammad_72

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی