كمترين زمان براي رفتن به نقاطي هم ارتفاع در شتاب گرانش

Pouya_p · 1390/8/8

كمترين زمان براي رفتن از نقطه a به b كه هم ارتفاعند و به فاصله d از هم هستند در شتاب گرانش بدون سرعت اوليه
[جواب درست حسابي بديد نگيد جواب سيكلوئيده] كه بازم سوال قشنگ بزارم

H O S E I N · 1390/8/8

پاسخ : كمترين زمان براي رفتن به نقاطي هم ارتفاع در شتاب گرانش

انتگرال ds/v باید فرین بشه طبق اصل کم ترین کنش.
معادله سیکلوید برای مسیره. برای بدست اوردن زمان کافیه 'y رو از معادلاتی که از سیکلویید بدست میاری توی انتگرال بالا جایگذاری کنی...

Pouya_p · 1390/8/8

پاسخ : كمترين زمان براي رفتن به نقاطي هم ارتفاع در شتاب گرانش

من اين چيزا رو نميفهمم فرمول بنويس همه اينايي كه گفتي خوب منم ميدونستم گفتم جواب درست حسابي بدين

khani · 1390/8/8

پاسخ : كمترين زمان براي رفتن به نقاطي هم ارتفاع در شتاب گرانش

اين سوال قشنگه ولي فقط به دوستان المپيادي تذكر مي دم كه اين مبحث كه مربوط به فرينه يابي يك انتگراله، در دوره ي 40 نفر نمياد.

H O S E I N · 1390/8/9

پاسخ : كمترين زمان براي رفتن به نقاطي هم ارتفاع در شتاب گرانش

$t=\int_{(x_1,y_1)}^{x_2,y_2}\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gx}}dx$

انتگرال بالا باید کمترین مقدار خودشو بدست بیاره. برای این کار اگه داشته باشیم :

$f=\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gx}}$

پس :

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\frac{\partial f}{\partial y'})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$

در نتیجه :

$y'=\frac{x}{\sqrt{2ax-x^2}}$

که a یه مقدار ثابته.
حالا 'y رو در عبارت اول جایگذاری میکنیم :

$t=\sqrt{\frac{a}{g}}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{ax-x^2}}$

مقدار a رو هم میشه با توجه به شرایط مرزی که در مسئله هست مثل فاصله دو نقطه هم ارتفاع d و مثلا" این که نقطه آغاز در مبدأ باشه حساب کرد. انتگرال بالا هم خیلی راحت بدست میاد اول مربع کامل مخرج بعدش جانشانی مثلثاتی داره.

كمترين زمان براي رفتن به نقاطي هم ارتفاع در شتاب گرانش

Pouya_p

New Member

H O S E I N

New Member

Pouya_p

New Member

khani

New Member

H O S E I N

New Member