لهستان 1988

حالا هرکی · 1391/1/7

من به این سوال برخوردم اگه کسی حلی داشت لطفا بزاره .

$d$

یک عدد صحیح مثبت است و

$f\vdots \left [ 0,d \right ]\rightarrow R$

یک تابع پیوسته با شرط

$f\left ( 0 \right )=f\left ( d \right )$

است.نشان دهید

$x$

ای متعلق به بازه ی

$\left [ 0,d-1 \right ]$

موجود است که

$f\left ( x \right )=f\left ( x+1 \right )$

.

goldeneagle · 1391/1/7

پاسخ : لهستان 1988

تعریف کنید

$g(x)=f(x+1)-f(x) \forall x \in [0,d-1]$

داریم :

$g(0)+g(1)+...g(d-1)=f(d)-f(0)=0$

اگر

$g(i)=0$

که حله پس فرض کنید این رخ ندهد . پس

$\exists i,j \in \mathbb{Z} \mid g(i)<0 , g(j)>0$

که البته

$0 \le i,j \le d-1$

حالا طبق قضیه مقدار بینی

$\exists t \in \mathbb{R}$

بین

$i,j$

که

$g(t)=0$

....حله دیگه :4: