بدیهی است حداکثر xyz مقداری است مثبت.بس 2 حالت داریم.
1.هر سه (xوyوz) مثبت هستند که در این صورت x+y+z مقداری مثبت خواهد بود و صفر نمی شود بنابرین تنها حالت2 قابل قبول است.
2.دو تا از آنها منفی هستند و دیگری مثبت است.
حالت 2 را بررسی می کنیم:
بدون کاسته شدن از کلّیّت مسئله می توانیم فرض کنیم که x مثبت باشد و y,z منفی.بس:
x>0 , y<0 , z<0
با یک تغییر متغیّر داریم:
a=-y , b=-z
x>0 , a>0 , b>0
x+y+z=0
x-a-b=0
x=a+b
xyz=xab<=(x(a+b)^4)/2=xx^2/2<=x^3/4
x<=1
xyz<=x^3/4<=1^3/4=1/4=.25
xyz<=1/4
و حالت تساوی زمانی است که:
x=1 , y=-1/2 , z=-1/2
x=-1/2 , y=1 , z=-1/2
x=-1/2 , y=-1/2 , z=1
