مثبت بودن ضرایب چندجمله ای

M_Sharifi · 1389/2/18

یه سوال:
ثابت کنید برای هر

$0<\varepsilon <1$

، عدد طبیعی

$n_0$

وجود دارد، به طوری که ضرایب چندجمله ای

[center:9f7fe44802]

$(x+y)^n(x^2-(2-\varepsilon )xy+y^2)$

[/center:9f7fe44802]
برای هر عدد طبیعی

$n\geq n_0$

، مثبت اند.

mohammad_72 · 1389/2/18

راحت میشه ثابت کرد ضریب

$x^{i+1}y^{n+1-i}$

برابره با :

$\binom{n}{i+1}+\binom{n}{i-1}+(\epsilon -2)\binom{n}{i}=\binom{n}{i}(\frac{n-i}{i+1}+\frac{i}{n-i+1}+\epsilon -2)$

که راحت میشه ثابت کرد اگه n به اندازه ی کافی زیاد باشه برای هر i مثبته.