مثلث متساوی الساقین ABC

mahdisaj · 1389/6/21

ABC یک مثلث است و دایره ی محاطی آن به مرکز I بر اضلاع AB , AC , BC به ترتیب در F , E , D مماس است . نیم خط های CI , BI خط EF را به ترتیب در Q,P قطع می کنند . نشان دهید اگر مثلث DPQ متساوی الساقین باشد آن گاه مثلث ABC نیز متساوی الساقین است

mrbayat · 1389/6/21

داریم:

$A\hat{F}P=90-\frac{\hat{A}}{2}, F\hat{B}P=\frac{\hat{B}}{2}\Rightarrow F\hat{P}B=90-\frac{\hat{A}}{2}-\frac{\hat{B}}{2}=\frac{\hat{C}}{2}$

پس چهارضلعی

$CIPE$

محاطی است پس:

$I\hat{P}C=I\hat{E}C=90$

به طور مشابه:

$I\hat{Q}B=90$

پس دو راس

$P,Q$

ضلع

$BC$

را با زاویه

$90$

می بینند در نتیجه چهارضلعی

$BCPQ$

محاطی به قطر

$BC$

است .پس محل برخورد عمود منصف

$PQ$

با ضلع

$BC$

وسط

$BC$

است یعنی مرکز دایره محیطی چهارضلعی

$BCPQ$

.

حالا در فرض مسئله نقطه

$D$

محل برخورد عمود منصف

$PQ$

با ضلع

$BC$

است. پس

$D$

وسط

$BC$

است.یعنی :

$AB=AC$

$(BD=y , CD=z )\Rightarrow y=z\Rightarrow (p=\frac{AB+AC+BC}{2}),p-y=p-z\Rightarrow$

(لطفا اون دایره محیطی رو بکنید محاطی)

مثلث متساوی الساقین ABC

mahdisaj

New Member

mrbayat

New Member

پیوست ها