محاسبه ی لختی دورانی

[H O S E I N]

سلام.

امروز سر کلاس فیزیک این سوال به ذهنم رسید ... یکی نیست بگه بچه گوش کن معلم چی میگه ...

خلاصه این که :

در تمام پرسش های زیر نباید از انتگرال استفاده کنید.

1- لختی دورانی یک حلقه به جرم M و شعاع r رو حساب کنید(حول محور)

2- لختی دورانی یک دیسک به جرم M و شعاع r رو حساب کنید (حول محور تقارن)

3- لختی دورانی یک مخروط به جرم M ارتفاع h و شعاع قاعده ی r رو حول محور تقارنش حساب کنید.

 

[125a74]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

1 که بدیهیه.همه جرما یک فاصله دارن میشه R بتوان دو ضربدر جمع اجرام که میشه M.
2 یک سری حلقه میگیریم.حلقه n به شعاع ndeltaR و جرم M ضربدر 2nMdeltaR^2 تقسیم بر R^2 .زیگما میگیریم روی n و تعداد مثلن N بزرگ رو که هست R تقسیم بر delta R به صفر میل میدیم.سخت نیست فقط میخوره به زیگمای n^4 روی n .که دقیقش اینجاست Faulhaber's formula - Wikipedia, the free encyclopedia ولی باید تقریب بزنیم فقط جمله بزرگره رو نگه داریم.
3 مشابه دو!

 

[H O S E I N]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

روش شما در واقع همون روش رایجه ...محاسبه ی اون زیگما هیچ فرقی با انتگرال گیری نداره عملا" ...

بدون این محاسبات و بدون هیچ پیچیدگی ریاضی خاصی ... با تحلیل ابعادی

 

[125a74]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

نه مطمینن با انتگرال فرق داره!!
کسی که هیچی از انتگرال هم ندونه میتونه این زیگما ها رو حساب کنه!!
و اما تحلیل ابعادی...شکل جوابا که ساده است میمونه ضریب پشتشون...یعنی شما میگی میشه ضریب رو هم با تحلیل ابعادی در آورد؟؟

 

[amir_j]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

مطمئنا با انتگرال فرقی نداره در واقع این بیشتر شبیه یه بسط از انتگرال میمونه !
اگه توماسو خوندی باشه برای انتگرال گیری هم در ابتدا این روش رو توضیح میده بعد خود انتگرال رو معرفی میکنه! :15:

 

[H O S E I N]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

نه مطمینن با انتگرال فرق داره!!
کسی که هیچی از انتگرال هم ندونه میتونه این زیگما ها رو حساب کنه!!
و اما تحلیل ابعادی...شکل جوابا که ساده است میمونه ضریب پشتشون...یعنی شما میگی میشه ضریب رو هم با تحلیل ابعادی در آورد؟؟

با تحلیل ابعادی به دو روش حل میشه ...

یکیشون فقط باید ضریب رو حساب کنید و تو اون یکی باید یه تابع رو حساب کنید.

 

[125a74]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

مطمئنا با انتگرال فرقی نداره در واقع این بیشتر شبیه یه بسط از انتگرال میمونه !
اگه توماسو خوندی باشه برای انتگرال گیری هم در ابتدا این روش رو توضیح میده بعد خود انتگرال رو معرفی میکنه! :15:

اول این روش رو معرفی میکنه بعد خود انتگرال رو معرفی میکنه..
یعنی چی؟یعنی این "پیش" از انتگراله..."قبل" از انتگرال.
و ضمنن زیگما گرفتن با انتگرال "فرق" داره.شما نمیتونی واسه هر انتگرالی این کار رو بکنی.و برعکس...لزومن هر زیگمایی هم انتگرال نیست.این روش زیگما ابندایی تر از انتگراله.
و ضمنن برای روش تحلیل ابعادی:خود تابع در میاره یعنی چی؟؟یا فقط ضریب رو در میاره؟بلخره آخرش ما جواب نهایی رو میخوایم:یک تابع با ضریب بی بعدش!
مثلن برای مرکز جرم بدون انتگرال میشه اینارو گفت:
مثلن میشه برای اون مخروطه اولی بیایم مثلث رو با تجانس حساب کنیم.(که میشه یک سوم) بعدش بیایم برای شکل سه بعدی بگیم چون اون dm متناسب با فاصله از راس زیاد میشه انتگرال xdm به dm قراره بشه x بتوان 3 dx به... و میده سه چهارم.
یک روش زیباتر و قشنگ تر باز هم تجانسه.یک هرم متقارن بگیرید.یعنی هرمی که هر سه وجهش مثل هم هستند و وجه هایشون مثلث هایی متساوی الاضلاع هستند.بدیهیه از تقارن که مرکز جرمش میافته رو یک چهارم .چون میتونیم فرض کنیم بجای یک شکل تو پر سه تا جرم یکسان تو راس ها داریم و بعد تابلوست که مرکز جرم میشه یک چهارم.بعد تجانس میزنیم و مرکز جرم مخروط در میاد(البته این نتیجه از این هم کلی تره!).
حالا برای لختی یک کاره مشابه میکنیم.

 

[H O S E I N]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

اول این روش رو معرفی میکنه بعد خود انتگرال رو معرفی میکنه..
یعنی چی؟یعنی این "پیش" از انتگراله..."قبل" از انتگرال.
و ضمنن زیگما گرفتن با انتگرال "فرق" داره.شما نمیتونی واسه هر انتگرالی این کار رو بکنی.و برعکس...لزومن هر زیگمایی هم انتگرال نیست.این روش زیگما ابندایی تر از انتگراله.
و ضمنن برای روش تحلیل ابعادی:خود تابع در میاره یعنی چی؟؟یا فقط ضریب رو در میاره؟بلخره آخرش ما جواب نهایی رو میخوایم:یک تابع با ضریب بی بعدش!
مثلن برای مرکز جرم بدون انتگرال میشه اینارو گفت:
مثلن میشه برای اون مخروطه اولی بیایم مثلث رو با تجانس حساب کنیم.(که میشه یک سوم) بعدش بیایم برای شکل سه بعدی بگیم چون اون dm متناسب با فاصله از راس زیاد میشه انتگرال xdm به dm قراره بشه x بتوان 3 dx به... و میده سه چهارم.
یک روش زیباتر و قشنگ تر باز هم تجانسه.یک هرم متقارن بگیرید.یعنی هرمی که هر سه وجهش مثل هم هستند و وجه هایشون مثلث هایی متساوی الاضلاع هستند.بدیهیه از تقارن که مرکز جرمش میافته رو یک چهارم .چون میتونیم فرض کنیم بجای یک شکل تو پر سه تا جرم یکسان تو راس ها داریم و بعد تابلوست که مرکز جرم میشه یک چهارم.بعد تجانس میزنیم و مرکز جرم مخروط در میاد(البته این نتیجه از این هم کلی تره!).
حالا برای لختی یک کاره مشابه میکنیم.

استدلال های شما بیشتر کیفی هستن ... جواب قطعی و با اثبات بیارید

 

[amir_j]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

منظورم این بود که یه انتگرال معین رو میشه با استفاده از روش مجموع یابی پیدا کرد این زیگمایی هم که شما میگی
همون مجموع یابی هستش یعنی پیدا کردن یه فرمول عمومی به ازای n ( بر اساس تابع ) (بسط دادن انتگرال با دنباله ی عمومی )
پس این فرمولی که شما میگی با انتگرال گیری هیچ تفاوتی نداره !

 

[125a74]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

منظورم این بود که یه انتگرال معین رو میشه با استفاده از روش مجموع یابی پیدا کرد این زیگمایی هم که شما میگی
همون مجموع یابی هستش یعنی پیدا کردن یه فرمول عمومی به ازای n ( بر اساس تابع ) (بسط دادن انتگرال با دنباله ی عمومی )
پس این فرمولی که شما میگی با انتگرال گیری هیچ تفاوتی نداره !

"بسط دادن انتگرال با دنباله ی عمومی" رو من جایی ندیدم...به این میگن بسط دادن انتگرال با دنباله عمومی؟
کسی که نه انتگرال میدونه چیه نه بسط...فقط حد بلده میتونه اینو حساب کنه و جواب در بیاره...و مطمینن "حد" با "انتگرال" فرق داره.جوابش نه ها!ولی برای کسی که انتگرال نخونده فرق داره!چون نمیتونه مستقیم انتگرال بگیره.
و هیچ جا به این نمیگن "بسط" expnasion .
What is the difference between sigma and integral
کلن انتگرال و زیگما یکی نیستن.اگه بودن به جفتش میگفتن انتگرال!
اینم "بسط" که این زیگما تو هیچ کدوم از مطالب مربوط به بسط مطرح نشده و بسط انتگرال هم اگر بزنید این زیگما نمیاد...بلکه یک انتگرال رو با بسط دادن انتگرالده حول یک نقطه حل کرده .یعنی عملن مجموع یابی بالا "مجموع یابی" یا "summation" هست .نه انتگراله نه بسط انتگراله.یک چیز جداست.تو حل بعضی انتگرال ها هم این کار (مجموع یابی تکه ای (discrete)و حد گیری بکار میاد.ولی این دلیل نمیشه اسمشو بزاریم انتگرال!

 

[H O S E I N]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

حالا من یه سوال گذاشتما ...

همین مونده یه نفر بیاد بگه "تو اصلا حق نداری چنین سوال بذاری که با تحلیل ابعادی حل بشه ... تو غلط کردی میگی با تحلیل ابعادی حل کنید"

 

[a-partovi]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

اول این روش رو معرفی میکنه بعد خود انتگرال رو معرفی میکنه..
یعنی چی؟یعنی این "پیش" از انتگراله..."قبل" از انتگرال.
و ضمنن زیگما گرفتن با انتگرال "فرق" داره.شما نمیتونی واسه هر انتگرالی این کار رو بکنی.و برعکس...لزومن هر زیگمایی هم انتگرال نیست.این روش زیگما ابندایی تر از انتگراله.
و ضمنن برای روش تحلیل ابعادی:خود تابع در میاره یعنی چی؟؟یا فقط ضریب رو در میاره؟بلخره آخرش ما جواب نهایی رو میخوایم:یک تابع با ضریب بی بعدش!
مثلن برای مرکز جرم بدون انتگرال میشه اینارو گفت:
مثلن میشه برای اون مخروطه اولی بیایم مثلث رو با تجانس حساب کنیم.(که میشه یک سوم) بعدش بیایم برای شکل سه بعدی بگیم چون اون dm متناسب با فاصله از راس زیاد میشه انتگرال xdm به dm قراره بشه x بتوان 3 dx به... و میده سه چهارم.
یک روش زیباتر و قشنگ تر باز هم تجانسه.یک هرم متقارن بگیرید.یعنی هرمی که هر سه وجهش مثل هم هستند و وجه هایشون مثلث هایی متساوی الاضلاع هستند.بدیهیه از تقارن که مرکز جرمش میافته رو یک چهارم .چون میتونیم فرض کنیم بجای یک شکل تو پر سه تا جرم یکسان تو راس ها داریم و بعد تابلوست که مرکز جرم میشه یک چهارم.بعد تجانس میزنیم و مرکز جرم مخروط در میاد(البته این نتیجه از این هم کلی تره!).
حالا برای لختی یک کاره مشابه میکنیم.

همين حرفهايی رو که گفتيد، انجام بديد تا به جواب برسيد ! و در نهايت جواب نهايی رو اعلام کنيد ! (البته اگر به جواب برسيد)
با hosein موافقم که زيگما در اين مسئله همون انتگرال گيری ميشه !
نمونه اين سؤال در امتحان نهايی دوره تابستانی 1377 اومده ! و با روش ديمانسيون به زيبايی حل ميشه !

 

[125a74]

پاسخ : محاسبه ی لختی دورانی

همين حرفهايی رو که گفتيد، انجام بديد تا به جواب برسيد ! و در نهايت جواب نهايی رو اعلام کنيد ! (البته اگر به جواب برسيد)
با hosein موافقم که زيگما در اين مسئله همون انتگرال گيری ميشه !
نمونه اين سؤال در امتحان نهايی دوره تابستانی 1377 اومده ! و با روش ديمانسيون به زيبايی حل ميشه !

چشم!
1)mR^2
2)mR^2/2
3)سه دهم mR^2

 

[amohadeseh]

سوال؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

لختی دورانی یک کره توپر را درمحوری که ازقطبش می گذرد حساب کنید.(برای کره توپر

):3: