محاسبه ی مجموع

math-sina · 1390/11/20

مطوب است :

$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}k^2$

mahanmath · 1390/11/20

پاسخ : محاسبه ی مجموع

$f(x)=(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} x^k \\ \Rightarrow f'(x)=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k k \binom{n}{k} x^{k-1} \\ \\\Rightarrow (xf'(x))'=\left ( \sum_{k=0}^{n} (-1)^k k \binom{n}{k} x^{k} \right )' \\ = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k k^2 \binom{n}{k} x^{k-1} \right$

$g(x)=(xf'(x))'$

پس اون چیزی که ما میخوایم

$g(1)$

هست .

$g(x)= (xf'(x))' = f'(x)+xf''(x)$

. اما اگر

$n \geq 3$

، 1 ریشه هر دوی

$f' , f''$

هم هست پس

$g(1)=0$

ali_irysc · 1390/11/20

پاسخ : محاسبه ی مجموع

با این هم ok میشه

$\sum \left ( -1 \right )^{k}\binom{n}{k}$

mahanmath · 1390/11/20

پاسخ : محاسبه ی مجموع

یک راه دیگه هم استفاده از درون یابی‌ لاگرانژه . :15:

goodarz · 1390/11/20

پاسخ : محاسبه ی مجموع

$\sum (-1)^k\dbinom{n}{k}k^2=n(\sum(-1)^k\dbinom{n-1}{k-1}k)=n(\sum(-1)^k\dbinom{n-1}{k-1}+\sum(-1)^k(k-1)\dbinom{n-1}{k-1})=n(n-1)(\sum(-1)^k\dbinom{n-2}{k-2})$

که فقط از این اتحاد استفاده شده:

$\dbinom{k}{l}\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{l}\dbinom{n-l}{k-l}$

mahanmath · 1391/2/28

پاسخ : محاسبه ی مجموع

$f(x)= n! \: x^2$

رو تو نقاط

$0,1,\dots,n$

درون یابی‌ کنید .

محاسبه ی مجموع

math-sina

New Member

mahanmath

New Member

ali_irysc

New Member

mahanmath

New Member

goodarz

Well-Known Member

mahanmath

New Member